matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Faltung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Faltung
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Faltung

Faltung



Unter einer Faltung versteht man eine multiplikative Operation auf Objekten $ M:=O_i*O_j $


Die kleinste Einheit, die gebildet werden kann ist eine Abbildung $ O:=K\times K\rightarrow K $ z.B. mit $ c:=a*b\quad (a,b\in\IR) $


Seien $ a:=a_i $ und $ b:=b_j $ beliebige Folgen, so ist eine neue Folge $ c:=c_r $, die aus dem Produkt $ a*b $ gebildet wurde ein Faltungsprodukt.


Satz: Seien die Reihen $ \summe_i{a_i} $ und $ \summe_j{b_j} $ absolut konvergent, so konvergiert auch die Reihe $ \summe_r{c_r} $ absolut und es gilt:

$ \summe_{r=0}^{\infty}{c_r}=\left(\summe_{i=0}^{\infty}{a_i}\right)\cdot{}\left(\summe_{j=0}^{\infty}{b_j}\right) $



Faltungsintegral

Das Integral $ f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\integral_0^t{f_1(\tau)f_2(t-\tau)\ d\tau} $ heißt Faltungungsintegral



Eigenschaft der Faltung


Kommutativität

$ f_1*f_2=f_2*f_1 $


Beweis

$ f_1(t)*f_2(t)=\integral_0^t{f_1(\tau)f_2(t-\tau)\ d\tau} $

Substitution: $ \sigma=t-\tau $

$ =\integral_0^t{f_1(t-\sigma)f_2(\sigma)\ d\sigma}=\integral_0^t{f_2(\sigma)f_1(t-\sigma)\ d\sigma}=f_2(t)*f_1(t) $



Assoziativität

$ (f_1*f_2)*f_3=f_1*(f_2*f_3) $



Beweis

$ [f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)=f_1(t)*[f_2(t)]*f_3(t)] $


$ g_1(u):=f_1(u)*f_2(u)=\integral_{v=0}^u{f_1(v)f_2(u-v)\ dv} $

$ g_2(t):=f_2(t)*f_3(t)=\integral_{w=0}^t{f_2(w)f_3(t-w)\ dw} $


zu zeigen: $ g_1(t)*f_3(t)=f_1(t)*g_2(t) $


$ g_1(t)*f_3(t)=\integral_0^t{g_1(u)f_3(t-u)\ du} $

$ =\integral_{u=0}^{t}\left(\integral_{v=0}^u{f_1(v)f_2(u-v)\ dv\right)\cdot{}f_3(t-u)\ du}=\integral_{u=0}^{t}\integral_{v=0}^u{f_1(v)f_2(u-v)\cdot{}f_3(t-u)\ dvdu} $

$ =\integral_{v=0}^{t}\integral_{u=v}^t{f_1(v)f_2(u-v)\cdot{}f_3(t-u)\ dudv}=\integral_{v=0}^{t}f_1(v)\left(\integral_{u=v}^t{f_2(u-v)\cdot{}f_3(t-u)\ du\right)\ dv} $

$ mit:\quad w:=u-v,\ t-u=t-v-w,\ du=dw,\ u=v\ \rightarrow\ w=0,\ u=t\ \rightarrow\ w=t-v $


$ =\integral_{v=0}^{t}f_1(v)\left(\integral_{w=0}^{t-v}{f_2(w)\cdot{}f_3(t-v-w)\ dw\right)\ dv}=\integral_{v=0}^{t}f_1(v)g_2(t-v)\ dv}=f_1(t)*g_2(t) $



Distributivität

$ f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3 $




Beispiele:


E-Funktion

$ e^x=\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}}\quad (x_i\in\IR) $


es ist: $ e^{x_1+x_2}=e^{x_1}*e^{x_2} $


wir beginnen mit der rechten Seite

Es seien die beiden Folgen: $ (a_i):=\left(\bruch{x_1^i}{i!}\right) $ und $ (b_i j):=\left(\bruch{x_2^j}{j!}\right) $ gegeben


dann ist

$ c_r:=\summe_{i=0}^{r}{a_ib_{r-i}}\ =\ \bruch{1}{r!}\summe_{i=0}^{r}{\bruch{r!}{i!(r-i)!}\cdot{}x_1^ix_2^{r-i}}\ =\ \bruch{1}{r!}\summe_{i=0}^{r}{\vektor{ r \\ i }\cdot{}x_1^ix_2^{r-i}}=\bruch{(x_1+x_2)^r}{r!} $





Letzte Änderung: Mi 06.12.2006 um 11:45 von Herby
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]