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Betrag

Schule

Definition Betrag einer reellen Zahl

Der Betrag einer reellen Zahl $ x \in \IR $ (im Zeichen |x|) ist wie folgt definiert:
$ |x|:=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{falls\, } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{falls\, } x < 0 \end{matrix}\right. $


Beispiele.

1.) Wegen $ 3>0 $ ist |3|=3.
2.) Wegen $ \wurzel{2}>0 $ ist $ |\wurzel{2}|=\wurzel{2} $.
3.) Es gilt |0|=0.
4.) Es gilt $ -7<0 $, also ist |-7|=-(-7)=7.
5.) Es gilt $ -\wurzel[7]{1023}<0 $, also ist $ |-\wurzel[7]{1023}|=-(-\wurzel[7]{1023})=\wurzel[7]{1023} $.


Bemerkungen.

1.) Für alle $ x \in \IR $ gilt $ |x| \ge 0 $. Denn:
1. Fall: Für $ x \ge 0 $ gilt $ |x|=x \ge 0 $.
2. Fall: Für $ x < 0 $ gilt
$ (\star) $ $ -x > 0 $
und damit folgt:
$ |x|=-x \stackrel{(\star)}{>} 0 $, also insbesondere $ |x| \ge 0 $.

Damit gilt $ |x|\ge 0 $ $ \forall x \in \IR $ in allen Fällen,und damit ist die Behauptung gezeigt!

2.) Auf der Zahlengeraden gibt der Betrag einer reellen Zahl x den Abstand der Zahl x zur Zahl 0 an.

3.) Für jede reelle Zahl x gilt die Gleichung:
$ \wurzel{x^2}=|x| $, denn:
1. Fall: Für $ x\ge0 $ gilt $ \wurzel{x^2}=x=|x| $.
2. Fall: Für $ x < 0 $ gilt  
$ -x > 0 $, und deswegen folgt:
$ (\star \star) $ -x=|x|.
Somit folgt:
$ \wurzel{x^2}=-x\stackrel{(\star \star)}{=}|x| $.

Damit gilt $ \wurzel{x^2}=|x| $ $ \forall x \in \IR $ in allen Fällen und die Behauptung ist gezeigt (siehe auch Quadratwurzel einer reellen Zahl).


Universität

Definition Betrag

Seien $ K=(K,+,\cdot{},<) $ ein geordneter Körper und $ x \in K $ sowie $ 0_K $ das Nullelement von K. Dann heißt:

$ |x|:=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{falls\, } x \ge 0_K \\ -x, & \mbox{falls\, } x < 0_K \end{matrix}\right\} $

der (absolute) Betrag von x.


Bemerkungen.

Es sei stets $ K=(K,+,\cdot{},<) $ ein geordneter Körper und es sei $ 0_K \in K $ das zugehörige Nullelement. Dann gelten:

1.) $ x\le|x| $   $ \forall x \in K $,
denn:
1.Fall: $ x\ge 0_K $. Dann gilt:
$ x=|x|\le|x| $

2.Fall:
$ x < 0_K $. Dann gilt:
$ x+(-x) < 0_K+(-x) $
$ \Rightarrow $
$ 0_K < -x=|x| $
und es folgt:
$ x < 0_K < |x| $, also insbesondere:
$ x \le |x| $

2.) Die Dreiecksungleichung:
$ \forall x,y \in K: |x+y|\le|x|+|y| $,
denn:
1.Fall: $ x+y \ge 0_K $. Dann gilt:
$ |x+y|=x+y\stackrel{1.)}{\le}|x|+y\stackrel{1.)}{\le}|x|+|y| $

2.Fall: $ x+y <0_K $. Dann gilt:
$ |x+y|=-(x+y)=-x+(-y)\stackrel{1.)}{\le}|-x|+(-y)\stackrel{1.)}{\le}|x|+|-y|=|x|+|y| $

3.) Es gilt $ \forall x,y \in K $
$ |(|x|-|y|)|\le|x-y| $,
denn:
Es gilt:
$ |x|=|x-y+y|\stackrel{2.)}{\le}|x-y|+|y| $
$ \gdw $
$ (\star_1) $  $ |x|-|y|\le|x-y| $
und analog sieht man:
$ (\star_2) $ $ |y|-|x|\le|y-x|=|-(x-y)|=|x-y| $
Aus $ (\star_1) $ und $ (\star_2) $ folgt die Behauptung.

4.) $ |x-y|\le|x|+|y| $,
denn:
$ |x-y|=|x+(-y)|\stackrel{2.)}{\le}|x|+|-y|=|x|+|y| $

5.) Seien $ a_j \in K $ (j=1,...,n). Dann gilt:
$ |\summe_{i=1}^n{a_i}|\le \summe_{i=1}^n{|a_i|} $.
Beweis:
Per Induktion:

Induktionsanfang:
Für n=1 $ \leftarrow $ klar

Induktionsschritt:
$ n \mapsto n+1: $
$ |\summe_{i=1}^{n+1}{a_i}|=|\left(\summe_{i=1}^{n}{a_i}\right)+a_{n+1}|\stackrel{2.)}{\le}|\summe_{i=1}^{n}{a_i}|+|a_{n+1}|\stackrel{Ind.-Vor.}{\le}\summe_{i=1}^n{|a_i|}+|a_{n+1}|=\summe_{i=1}^{n+1}{|a_i|} $

$ \Box $

6.) Es gilt die Bernoulli-Ungleichung.

Erstellt: Do 04.11.2004 von Marcel
Letzte Änderung: Do 02.11.2006 um 21:28 von informix
Weitere Autoren: Marc
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