Basiswechsel

Der Basiswechsel

gegeben sei ein Vektor eines Vektorraumes V mit der Darstellung v bzgl. der Basis A, d.h sei eine Basis, dann kann man eindeutig darstellen als Linearkombination der Basisvektoren, d.h :

somit erhält die Darstellung bzgl :

Wenn man nun eine weitere Basis gegeben hat und den Vektor gleich (identisch) lassen, aber bzgl B (eindeutig) darstellen will, dann sind also die Skalare in gesucht, so dass gilt.

Für allgemeine Basen kann man dies entweder über ein Gleichungssystem lösen - bzw. gleichbedeutend mit der Transformationsmatrix .

Für eine orthogonale Basis B kann man auch das (kanonische) Skalarprodukt benutzen.
(für eine orthonormale Basis B entfallen jeweils die Nenner der Brüche)

Dann gilt :

Für eine Herleitung und als Beispiel zur Berechnung nach den "beiden" anderen Methoden siehe HIER (Matheraum)