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| Aufgabe | Sei U [mm] \subset \IR [/mm] hoch n eine nichtleere, offene Mengen. Zeigen Sie, dass eine Folge (Kv)v kompakter Teilmengen Kv [mm] \subset [/mm] U [mm] (v\in [/mm] N) existiert mit
... [mm] \subset [/mm] Int(Kv) [mm] \subset [/mm] Kv [mm] \subset [/mm] Int(Kv+1) [mm] \subset [/mm] K(v+1) [mm] \subset [/mm] ... und U = [mm] \bigcup_{v \in N}^{} [/mm] Kv. |
Hey,
wir wissen hier einfach nicht, was wir machen sollen. kann uns einer helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 15.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> wir wissen hier einfach nicht, was wir machen sollen. kann
> uns einer helfen?
Welche Sätze hattet ihr zu offenen und abgeschlossenen Mengen schon? Was wisst ihr alles über offenen Teilmengen des [m]\IR^n[/m]? Hier mal ein Tip: wie sieht das ganze für einen Ball [m]B_\varepsilon(x)[/m] aus? Welche kompkaten Mengen sind dann in Vereinigung der ganze Ball?
SEcki
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Naja also wir wissen halt, dass wenn ne Menge offen ist, na das dann eben Be(x) [mm] \subset [/mm] U ist. Und sonst haben wir dass eben naja kompakte mengen im Rn abgeschlossen und beschränkt sind un das Bild einer kompakten Menge wieder kompakt, wenn die abbildung stetig ist... aber so richtig viel hilft mir das alles nicht, vor allem mit den Kugeln hab ich so meine Probleme....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 15.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> aber so richtig
> viel hilft mir das alles nicht, vor allem mit den Kugeln
> hab ich so meine Probleme....
Also es gilt [m]\overline{K}_{\varepsilon-\bruch{1}{n}}(x)\subset K_{\varepsilon}(x)[/m], wobei der abgeschlossene Ball kompakt ist. Damit solltest du jetzt eine Folge für einen Ball finden.
Der nächste Schritt: offene Mengen von [m]\IR^n[/m] sind Verienigung von abzählbar vielen Bällen! Und endliche Verinigung von kompakter sind wieder kompakt. Jetzt muss man das zusammen setzen. Puh, ejtzt hab ich viele Hinweise gegeben - hast du jetzt Ideen? Bzw. ihr, zu wievielt seid ihr denn?
SEcki
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Wir sind zu 4. Du, ich schreib dir mal grad hin, was wir gemacht haben bisher...Also wir haben uns zunächst mal überlegt, dass ja eine richtung völlig klar ist,nämlich, dass Int(kv) [mm] \subset [/mm] Kv, denn wir haben in der Vrolesung gesagt, dass Int(Kv) auch beschrieben werden kann als die größte offene Teilmenge von x, die in Kv enthalten ist. Und damit wär das ja dann so (oder?). Dann haben wir uns überlegt, dass wir ja dann zeigen müssen, dass [mm] Kv\subset [/mm] Int(Kv+1)
Dazu haben wir Kv einfach mal so ausgedrückt:
Kv = { x [mm] \in [/mm] R hoch n , d(x, UKomplement) [mm] \ge [/mm] }. Naja wir haben uns nun überlegt wie wir epsilon am besten wählen. Unsere Entscheidung lautete = 1/v.
Kv = { x [mm] \in [/mm] R hoch n, d(x, U Komplement) [mm] \ge [/mm] 1/v }
Kv+1 ist dann aber { x [mm] \in [/mm] R hoch n, d(x, U Komplement [mm] \ge [/mm] 1/v+1}
Jetzt haben wir uns hingeschrieben, was aber wiederrum Int(kv+1) ist:
Int(kv+1) = { x [mm] \in [/mm] R hoch n , es gibt eine Umgebung V von x mit V [mm] \subset [/mm] Kv+1 } =
{ [mm] x\in [/mm] R hoch n, es gibt eine Umgebung V von x mit V [mm] \subset [/mm] {x [mm] \in [/mm] R hoch n, d(x, U Komplement) [mm] \ge [/mm] 1/v+1 }}
= {x [mm] \in [/mm] R hoch n, es gbt eine Umgebung V von x mit V [mm] \subset [/mm] {x [mm] \in [/mm] R hoch n, d (x, U Komplement) [mm] \ge [/mm] 1/v > 1/v+1 }}.
Irgendwie so wollten wir zeigen dass die Mengen immer in den anderen enthalten sind, also den ersten Teil... aber so richtig, naja, wäre nett wenn du hier mal drüberschaust. Ich denke so is es einfacher zu sehen, wo wir ein Problem haben. Ich danke dir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Sa 16.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ihr wolt also [mm] $K_\nu:=\{x\in\IR^n\mid d(x,U^c)\ge1/\nu\}$ [/mm] setzen. Die Idee ist schonmal nicht schlecht, die Mengen sind sicherlich abgeschlossene Teilmengen von O, aber i.A. nicht beschränkt. Ist z.B. [mm] $U=(-1,1)\times\IR\subset \IR^2$ [/mm] die offene Menge, dann ist [mm] $K_1=0\times\IR$ [/mm] nicht beschränkt, also auch nicht kompakt.
Denkt an den Hinweis von SEcki. Jede offene Menge ist abhzählbare Vereinigung von offenen Bällen. Wenn ihr so eine Folge von kompakten Mengen für die offenen Bällen gefunden habt, dann könnt ihr daraus leicht eine Folge für ganz U konstruieren.
Gruß, Robert
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Auch auf die Gefahr hin, dass ihr mich für total dumm hält, aber irgendwie komm ich einfach mit diesen Epsilonkugeln nicht klar. Was ist bei Ke-1/n (x) denn dein x beziehungsweise wo liegt das? ich weiß halt gar nicht, wie ich überhaupt darauf komme diese kugeln zu bilden und was die kugeln sind, bzw. wir haben noch nie sowas gemaht dass wir ne folge für einen ball finden müssen... das is total seltsam... danke nochma für eure hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Sa 16.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Innem metrischen Raumen heißt [mm] $B_R(x):=\{y\in X\mid d(x,y)
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] gilt: jede offene Menge ist abzählbare Vereinigung von offenen Bällen, denn: ist U offen, [mm] $x\in [/mm] U$, dann gibt es [mm] $B_{2/n}(x)\subset [/mm] U$ für ein [mm] $n\in\IN$. $B_{1/n}(x)$ [/mm] enthält auf jeden Fall ein [mm] $r\in\IQ^n$ [/mm] und dann ist [mm] $x\in B_{1/n}(r)\subset [/mm] U$. Auf diese Weise erhält man für jedes [mm] $x\in [/mm] U$ einen Ball $B(x)$ mit rationalem Mittelpunkt und rationalem Radius - davon gibt es nur abzählbar viele - also ist [mm] $U=\bigcup_{x\in U} [/mm] B(x)$ die abzählbare Vereinigung offener Bälle.
Gruß, Robert
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Ja, das habe ich mir auch schon überlegt. Was ich mich nun frage, ist wie ich das sinnvoll auf Kv übertragen kann. Diese Kvs müssen ja alle abgeschlossen und beschränkt sein, richtig? Weil dann sind sie ja kompakt, laut Heine-Borel, da wir uns im R hoch n befinden. So dann weiß ich ja, dass U offen ist. Naja, was heißt aber das U offen ist, dass man es auch als Vereinigung von abzählbar vielen offenen Bällen schreiben kann. Soweit bin ich noch im Bilde ;). Und wenn U = die Vereinigung der Kv sein soll, naja dann muss man ja auch hier abzählbar viele offene Bälle haben. Das heißt man muss K irgendwie durch ne Folge von Bällen ausdrücken, stimmt das soweit'?
Ich hab mir jetzt überlegt, dass ja gilt:
[mm] \overline{Be-3/n} \subset [/mm] Be-2/n [mm] \subset \overline{Be-1/n} \subset [/mm] Be. wobei das e hier für epsilon steht. So jetzt hab ich das also festgestellt. Und wie kann ich das jetzt mit dem Int(kv) in Verbindung bringen? Diese Mengen sind ja auf jeden fall schon mal kompakt, weil die abgeschlossenen Bälle ja kompakt sind und als Teilmenge davon ist das dann ja auch kompakt (laut Vorlesung). Ich kann ja nicht einfach sagen, was Int(Kv) ist und was Kv-.. das kommt mir irgendwie schwierig vor. Ich glaub, ich hab grundsätzlich ein Problem zu übertragen, was man überhaupt mit diesen Mengen ausdrücken will. Ich weiß zwar die Definition von Int(kv) aber so richtig interpretieren kann ich das nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Sa 16.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Sei [mm] $U=\bigcup_{k\in\IN}B_{r_k}(x_k)$... [/mm] jetzt schau dir doch mal [mm] $K_\nu:=\bigcup_{k=1}^\nu \overline{B_{r_k-1/\nu}(x_k)}$ [/mm] an.
Gruß, Robert
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Naja, das innere von Kv kann ich ja dann einfach bilden, wenn ich die vEREINIGUNG der offenen Kugeln nehmen, dann ist ja der Rand nicht mehr mit drin. Daraus folgt ja schon mal, dass Int(kv) [mm] \subset [/mm] Kv ist. So Kv = [mm] \bigcup_{k=1}^{v}\overline{Brk-1/v (xk)}. [/mm]
Und Int(Kv+1) = [mm] \bigcup_{k=1}^{v+1}Brk-1/v+1 [/mm] (xk). Daraus folgt ja das Kv [mm] \subset [/mm] Int(kv+1). Soweit ist es mir klar. Jetzt weiß ich, dass U die Vereinigung von abzählbar vielen offenen Bällen ist. MMh wenn ich mir nun U hinschreibe, wie es nachher da stehen soll:
U = [mm] \bigcup_{v\in N}^{}Kv [/mm] = [mm] \bigcup_{v\in N}^{}\bigcup_{k=1}^{v}\overline{Brk-1/v (xk)}, [/mm] so kann man ja das U auch schreiben. Und wieso ist das genau das was ich haben will... die Vereinigung der abgeschlossenen Kugeln ist ja wieder abgeschlossen oder? und was wenn ich jetzt wieder ne Vereinigung drüber laufen lass, wie man das ja hier praktisch macht? Wenn man so draufschaut, naja, dann is das seltsam, wir wissen ja dass die Menge der Kv beschränkt sind, mmh...und wenn ich ne vereinigung über beschränkte mengen bilde, ist die doch auch wieder beschränkt... oder nicht? Ich hatte irgendwie die Idee das ganze noch mit ner Einheitskugel zu schneiden... also die Kv... dann dürfte ja nichts passieren...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Naja, das innere von Kv kann ich ja dann einfach bilden,
> wenn ich die vEREINIGUNG der offenen Kugeln nehmen, dann
> ist ja der Rand nicht mehr mit drin. Daraus folgt ja schon
> mal, dass Int(kv) [mm]\subset[/mm] Kv ist.
[mm] $Int(M)\subset [/mm] M$ ist wie du schonmal bemerkt hast, eine Tautologie.
> So Kv = [mm]\bigcup_{k=1}^{v}\overline{Brk-1/v (xk)}.[/mm]
> Und [mm] Int(K_{v+1}) [/mm] = [mm]\bigcup_{k=1}^{v+1}B_{r_k-1/(v+1)}(x_k)$. Daraus
> folgt ja das K_v \subset[/mm] Int(kv+1).
Richtig.
> Jetzt weiß ich, dass U die Vereinigung von abzählbar vielen
> offenen Bällen ist. MMh wenn ich mir nun U hinschreibe, wie
> es nachher da stehen soll:
>
> U = [mm]\bigcup_{v\in N}Kv[/mm] = [mm]\bigcup_{v\in N}\bigcup_{k=1}^{v}\overline{Brk-1/v (xk)}[/mm]
> so kann man ja das U auch schreiben. Und wieso ist das
> genau das was ich haben will... die Vereinigung der
> abgeschlossenen Kugeln ist ja wieder abgeschlossen oder?
Die endliche Vereinigung abgeschlossener/kompakter Mengen ist abgeschlossen/kompakt.
> und was wenn ich jetzt wieder ne Vereinigung drüber laufen
> lass, wie man das ja hier praktisch macht?
Das spielt keine Rolle. Ziel ist es, U als abzählbare Vereinigung kompakter Mengen darzustellen. Du musst jetzt noch zeigen dass auch wirklich [mm] $U=\bigcup K_\nu$ [/mm] gilt
1) jedes [mm] K_\nu [/mm] ist nach Konstruktion in U enthalten, also [mm] $U\supset\bigcup K_\nu$
[/mm]
2) zeige, dass auch [mm] $U\subset\bigcup K\nu$ [/mm] gilt...
Gruß, Robert
PS: Bitte gewöhn dir mal an den Formeleditor zu benutzen. Vor allem umgib die gesamte Formel mit [mm]...[/mm], meistens funktioniert auch $...$.
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Ich weiß leider nicht, wie man das mit dem Formelsystem macht?... ^^
So, also es dürfte ja nicht schwer sein zu zeigen, dss U = [mm] \bigcup_{k \in N}^{} [/mm] Kv.
U = [mm] \bigcup_{k \in N}^{} [/mm] Brk(xk) [mm] \subset \bigcup_{k \in N}^{} \overline{Brk(xk)} \subset \bigcup_{k \in N}^{} \overline{Brk-1/v(xk)}\subset \bigcup_{k \in N}^{} \bigcup_{k=1}^{v} [/mm] Brk-1/v (xk).
Geht das nicht so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich weiß leider nicht, wie man das mit dem Formelsystem
> macht?... ^^
Guckst du hier.
> So, also es dürfte ja nicht schwer sein zu zeigen, dss U =
> [mm]\bigcup_{k \in N}^{}[/mm] Kv.
>
> U = [mm]\bigcup_{k \in N}^{}[/mm] Brk(xk) [mm]\subset \bigcup_{k \in N}^{} \overline{Brk(xk)} \subset \bigcup_{k \in N}^{} \overline{Brk-1/v(xk)}\subset \bigcup_{k \in N}^{} \bigcup_{k=1}^{v}[/mm]
> Brk-1/v (xk).
>
> Geht das nicht so?
Kaufst du dir das eigentlich selbst ab? Es fehlt nicht nur jede Begründung, es ist auch noch falsch. Du musst zeigen, dass jedes [mm] $x\in [/mm] U$ in einem [mm] $K_\nu$ [/mm] enthalten ist.
Gruß, Robert
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Sorry,... ich weiß, dass es dir sicherlich total doof vorkommt, dass ich hier so herumprobiere... ich hab auch grad gemerkt, dass das ja falsch is.. ich versuchs dann mal weiterhin noch anders... mit diesem Topologiekram hab ichs einfach gar net... ich danke dir aber...falls ich ne idee hab, meld ich mich wieder...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich finde du machst das sehr gut.
Gruß, Robert
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Ich danke dir. Ich werd wohl erst heute Abend dazukommen hier weiterzumachen, da ich gleich einen Wettkampf im Schwimmen habe. Ich danke dir wirklich, dass du dir so viel Zeit nimmst, um mir zu helfen. Ich bin dir echt was schuldig ;). Konntest du das denn alles am Anfang von Ana 2 auch? Weil ich war eigentlich in Ana1 ziemlich gut, aber mit dem hier hab ich so meine Schwierigkeiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Falls du Mathe studierst: Gewöhn dich lieber gleich dran, dass du auf Anhieb fast nix verstehst, es sei denn du gehörst zu einem erlesenen Kreis. Dass du in Analysis I gut mitgekommen bist liegt einfach daran, dass man sich da mit Schulmathematik noch ganz gut durchwurschteln kann, aber das ist ziemlich schnell vorbei. Dass du das erste Semester überlebt hast, ist ein Zeichen, dass du prinzipiell das Zeug dazu hast den Rest auch zu schaffen, aber leichter wird es nicht mehr.
Ach und: Es ist meine Sache wenn ich meine Zeit hier mit Antworten schreiben verbringe, keiner hat hier irgendwelche Verpflichtungen und keiner ist irgendwem was schuldig.
Gruß, Robert
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