integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Fr 28.11.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | seien [mm] a,c\in\IR_{+}^{*}. [/mm] berechnen sie das volumen von
[mm] P:=\{ (x,y,z) \in \IR^{3} | ax^{2}+cy^{2} \le z \le 1\} [/mm] |
hi
hab hier zwei loesungsansawtzw und wollt fragen ob einer davon
richtig ist.
a) [mm] V(P)=\integral_{0}^{1} {\integral_{\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}{\integral_{\wurzel{\bruch{z}{a}}}^{-\wurzel{\bruch{z}{a}}}{1 dx} dy} dz}
[/mm]
b) [mm] V(P)=\integral_{0}^{1} {\integral_{\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}{\integral_{\wurzel{\bruch{z-by^{2}}{a}}}^{-\wurzel{\bruch{z-by^{²}}{a}}}{1 dx} dy} dz}
[/mm]
gruß lennart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Fr 28.11.2008 | | Autor: | lenz |
hi mathepower
sehe das du dir mal wieder die zeit nimmst meine fragen
zu beantworten,und wollt mich,da ich jetzt kurz losmuß,im vorraus
und auch für die letzten male nochmal bedanken
gruß lenz
P.S die grenzen sind vertauscht,ist dir warscheinlich schon aufgefallen,
kann sie aber nicht korrigieren da du den post "reserviert" hast
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo lenz,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> seien a,c \in \IR_{+}^{*}.berechnen sie das volumen von
> P:=\{ (x,y,z) \in \IR^{3} | ax^{2}+cy^{2} \le z \le 1\}
> hi
> hab hier zwei loesungsansawtzw und wollt fragen ob einer
> davon
> richtig ist.
> a) V(P)=\integral_{0}^{1}
> {\integral_{\wurzel{\bruch{z}{b}}^{-\wurzel{\bruch{z}{b}}{\integral_{\wurzel{\bruch{z}{a}}^{-\wurzel{\bruch{z}{a}}{1
> dx} dy} dz}
[mm]V(P)=\integral_{0}^{1}{\integral_{ \wurzel{ \bruch{z}{b} } }^{ -\wurzel{ \bruch{z}{b} } }{\integral_{ \wurzel{ \bruch{z}{a} } }^{ -\wurzel{ \bruch{z}{a} } }{1 \ dx} \ dy} \ dz}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> b) V(P)=\integral_{0}^{1}
> {\integral_{\wurzel{\bruch{z}{b}}^{-\wurzel{\bruch{z}{b}}{\integral_{\wurzel{\bruch{z-by^{2}}{a}}^{-\wurzel{\bruch{z-by^{²}}{a}}{1
> dx} dy} dz}
[mm]V(P)=\integral_{0}^{1}{\integral_{\wurzel{ \bruch{z}{b} } }^{ -\wurzel{ \bruch{z}{b} } }{\integral_{ \wurzel{ \bruch{z-by^{2}}{a} } }^{ -\wurzel{ \bruch{z-by^{2}}{a} } }{1 \ dx} \ dy} \ dz} [/mm]
Dieser Ansatz ist ok.
Die Integrationsgrenzen beim 2. und 3. Integral kann man ja noch vertauschen:
[mm]V(P)=\integral_{0}^{1}{\integral_{ -\wurzel{ \bruch{z}{b} } }^{ +\wurzel{ \bruch{z}{b} } }{\integral_{ -\wurzel{ \bruch{z-by^{2}}{a} } }^{ +\wurzel{ \bruch{z-by^{2}}{a} } }{1 \ dx} \ dy} \ dz} [/mm]
Schreib doch bitte große Ausdrücke übersichtlicher,
wie unter "Große Ausdrücke in Klammern" beschrieben.
> gruß lennart
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Sa 29.11.2008 | | Autor: | lenz |
hallo nochmal
ich komm irgendwie nicht weiter mit diesem integral.
meine lösung sieht folgendermaßen aus:
[mm] \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}}{\integral_{-\wurzel{\bruch{z-by^{2}}{a}}}^{\wurzel{\bruch{z-by^{²}}{a}}}{1 dx} dy} dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} 2 \wurzel{\bruch{z-by^{2}}{a} dy} dz} [/mm] =
[mm] \bruch{2}{\wurzel{a}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { \wurzel{z-by^{2}} dy} dz}
[/mm]
soweit noch gut.jetzt dachte ich substituieren(ist eine meiner schwächen)
und zwar: [mm] by^{²}=zcos^{²}(u) \Rightarrow \wurzel{b}y=\wurzel{z}cos(u) \Rightarrow dy=\bruch{du}{\wurzel{b}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{2}{\wurzel{ab}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { \wurzel{z-by^{2}} dy} dz}=
[/mm]
[mm] \bruch{2}{\wurzel{ab}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { zsin(u) du} dz}
[/mm]
wenn ich jetzt die grenzen substituiere mit [mm] u=\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(y)=\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})
[/mm]
komm ich nach integrieren auf [mm] \bruch{2}{\wurzel{ab}}\integral_{0}^{1}{-z(cos(\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})-cos(-\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}}) dz})
[/mm]
das kann es ja nicht sein,oder?
man kann das cos und arccos ja auch nicht kürzen wenn ich mich nicht irre
würd außerdem irgendwie erwarten das da noch ein [mm] \pi [/mm] auftaucht
wäre nett wen mir jemand meinen fehler zeigen würde
gruß lennart
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Hallo lenz,
> hallo nochmal
> ich komm irgendwie nicht weiter mit diesem integral.
> meine lösung sieht folgendermaßen aus:
> [mm]\integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}}{\integral_{-\wurzel{\bruch{z-by^{2}}{a}}}^{\wurzel{\bruch{z-by^{²}}{a}}}{1 dx} dy} dz}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} 2 \wurzel{\bruch{z-by^{2}}{a} dy} dz}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{a}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { \wurzel{z-by^{2}} dy} dz}[/mm]
>
> soweit noch gut.jetzt dachte ich substituieren(ist eine
> meiner schwächen)
> und zwar: [mm]by^{²}=zcos^{²}(u) \Rightarrow \wurzel{b}y=\wurzel{z}cos(u) \Rightarrow dy=\bruch{du}{\wurzel{b}}[/mm]
Hier hast Du etwas entscheidendes vergessen:
[mm]\wurzel{b}*y=\wurzel{z}*\cos\left(u\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \wurzel{b} \ dy = \red{-}\wurzel{z}*\red{\sin\left(u\right)} \ du[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{2}{\wurzel{ab}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { \wurzel{z-by^{2}} dy} dz}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{ab}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { zsin(u) du} dz}[/mm]
>
> wenn ich jetzt die grenzen substituiere mit
> [mm]u=\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(y)=\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})[/mm]
> komm ich nach integrieren auf
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{ab}}\integral_{0}^{1}{-z(cos(\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})-cos(-\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}}) dz})[/mm]
>
> das kann es ja nicht sein,oder?
> man kann das cos und arccos ja auch nicht kürzen wenn ich
> mich nicht irre
> würd außerdem irgendwie erwarten das da noch ein [mm]\pi[/mm]
> auftaucht
> wäre nett wen mir jemand meinen fehler zeigen würde
> gruß lennart
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Sa 29.11.2008 | | Autor: | lenz |
hallo nochmal
damit komme ich jetzt mit:
[mm] \integral_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{sin^{²}(u) du}=
[/mm]
[mm] -cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+\integral_{^-\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{cos^{²} du}=-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+\integral_{-\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{1-sin^{²} du} [/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{sin^{²}(u) du}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+\integral_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{1 du}=-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+u|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}
[/mm]
auf:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{a}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { \wurzel{z-by^{2}} dy} dz} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{a}} \integral_{0}^{1} {-\wurzel{z}z (-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+u|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})} dz}
[/mm]
ist mir damit jetzt geholfen.
ich meine mir ist nicht so ganz klar was das hier
[mm] -cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+u|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}}) }
[/mm]
sein soll.die grenzen sind ein bißchen unhandlich.
habe ich sie überhaupt richtig substituiert?
wäre nett falls mir jemand meinen fehler zeigen könnte
gruß lennart
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Hallo lenz,
> hallo nochmal
> damit komme ich jetzt mit:
>
> [mm]\integral_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{sin^{²}(u) du}=[/mm]
>
> [mm]-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+\integral_{^-\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{cos^{²} du}=-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+\integral_{-\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{1-sin^{²} du}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \integral_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{sin^{²}(u) du}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+\integral_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}{1 du}=-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+u|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}[/mm]
>
> auf:
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{a}} \integral_{0}^{1} {\integral_{-\wurzel{\bruch{z}{b}}}^{\wurzel{\bruch{z}{b}}} { \wurzel{z-by^{2}} dy} dz}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{\wurzel{a}} \integral_{0}^{1} {-\wurzel{z}z (-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+u|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})} dz}[/mm]
>
> ist mir damit jetzt geholfen.
> ich meine mir ist nicht so ganz klar was das hier
>
> [mm]-cos(u)sin(u)|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}})}+u|_{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(-\wurzel{\bruch{z}{b}})}^{\wurzel{\bruch{b}{z}}arccos(\wurzel{\bruch{z}{b}}) }[/mm]
>
> sein soll.die grenzen sind ein bißchen unhandlich.
> habe ich sie überhaupt richtig substituiert?
Die Grenzen sind nicht richtig substituiert worden:
[mm]+\wurzel{\bruch{z}{b}}=\wurzel{\bruch{z}{b}}*\cos\left(u\right) \Rightarrow u=0[/mm]
[mm]-\wurzel{\bruch{z}{b}}=\wurzel{\bruch{z}{b}}*\cos\left(u\right) \Rightarrow u=- \pi[/mm]
Damit ist folgende Integral zu lösen:
[mm]\integral_{-\pi}^{0}{sin^{²}(u) du}= \ \dots[/mm]
> wäre nett falls mir jemand meinen fehler zeigen könnte
> gruß lennart
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | Seien [mm]a,c \in \IR^{+}[/mm]. Berechnen Sie das Volumen von
[mm]P:=\{ (x,y,z) \in \IR^{3}\ |\ ax^{2}+cy^{2} \le z \le 1\}[/mm] |
Schaut mal da rein: Volumenberechnung
Gruß Al-Chw.
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