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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wie gehe ich an die folgende Aufgabe heran:
Untersuchen sie, für welche x E R die Reihe
Summe(k=1, unendlich) 2+e(Exponent)-kx²/k²
konvergiert,für welche sie divergiert.
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Hallo christinchen19,
es wäre nett, wenn Du dich mit dem Formeleditor vertraut machen würdest. So kann man das nicht eindeutig entziffern.
Eingabehilfen findest Du unter dem Eingabefenster (vielleicht musst Du da noch das blaue [+] anklicken), ausführlicher auch hier.
Lass Dir mal den Quelltext anzeigen, dann siehst Du, wie ich das eingegeben habe:
> Wie gehe ich an die folgende Aufgabe heran:
>
> Untersuchen sie, für welche [mm] x\in\IR [/mm] die Reihe
>
> Summe(k=1, unendlich) 2+e(Exponent)-kx²/k²
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}
[/mm]
So? Oder wie?
> konvergiert,für welche sie divergiert.
Das wäre die Aufgabe, vielleicht jedenfalls.
Und was ist nun Deine Frage dazu?
Hast Du einen eigenen Ansatz?
lg
reverend
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also ich dachte ich mache das mit dem quotientenkriterium
also bilde ich [mm] \left |\bruch{a_n_+_1}{a_n}\right|
[/mm]
aber was ich weiß weder was danach anstelle ist noch wie ich dieses quotientenkirterium der konvergenz zu verstehen habe.
[mm] \summe_{k=1}^{infinity}a_k [/mm] ist konvergent wenn für q
0<q<1 gilt aber was ist dieses q?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Fr 11.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Nur mal so als Tipp: [mm] $|e^{-kx^2}|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $(x,k)\in\IR\times\IN$ [/mm] und benutze das Majorantenkriterium.
Gruß, Robert
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es tut mir wirklich leid aber ich verstehe nicht was dieses [mm] b_k [/mm] dann darstellt
[mm] b_k [/mm] >=0 für alle k
und es ein [mm] N_0 [/mm] gibt (Wie berechne ich das?)
daraus folgt dann [mm] |a_k| [/mm] <= [mm] b_k
[/mm]
und das heißt dann die folge von [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] konvergiert?
wie wende ich das in der praxis an bzw an der aufgabe?
ich steh wirklich auf dem schlauch
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Hallo Christina,
> es tut mir wirklich leid aber ich verstehe nicht was dieses
> [mm]b_k[/mm] dann darstellt
> [mm]b_k[/mm] >=0 für alle k
Was ist denn [mm] $b_k$?
[/mm]
Das steht hier nirgends im post.
Meinst du damit die Glieder der Majorante?
Du solltest mal versuchen, deine Fragen präziser zu formulieren, so dass man sie verstehen kann.
Weißt du, dass die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ [/mm] konvergent ist?
Die kannst du dann als (konvergente) Majorante heranziehen.
Du musst zu deiner Ausgangsreihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2+e^{-kx^2}}{k^2}$ [/mm] eine konvergente Majorante [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ [/mm] finden.
Betrachte dazu [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|\frac{2+e^{-kx^2}}{k^2}\right|$
[/mm]
Benutze zum einen die Dreiecksungleichung, zum anderen die Abschätzung aus Roberts Antwort und du solltest auf eine passende Majorante kommen (eine Variante der o.a. Reihe, also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{M}{k^2}=M\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$)
[/mm]
Geh's mal an ...
> und es ein [mm]N_0[/mm] gibt (Wie berechne ich das?)
> daraus folgt dann [mm]|a_k|[/mm] <= [mm]b_k[/mm]
>
> und das heißt dann die folge von [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm] konvergiert?
>
> wie wende ich das in der praxis an bzw an der aufgabe?
>
> ich steh wirklich auf dem schlauch
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Sa 19.12.2009 | | Autor: | etoxxl |
Ist dies richtig aufgeschrieben?
Aus der Reihe: $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] $
betrachte ich die Folge [mm] \bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}
[/mm]
Da 2 > 0 und e^(beliebig was) > 0 und [mm] k^2 [/mm] > 0 gilt :
[mm] \bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] = | [mm] \bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] |
und [mm] |\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}| [/mm] = | [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] + [mm] \bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| \le |\bruch{2}{k^2}| [/mm] + [mm] |\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}|
[/mm]
Da e^(eine negative Zahl) < 1 gilt [mm] |\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k^2}
[/mm]
und damit gilt [mm] |\bruch{2}{k^2}| [/mm] + [mm] |\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| [/mm] < [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{k^2}
[/mm]
Also ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2} [/mm] ist also konvergente Majorante von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}
[/mm]
und damit kovergiert auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}
[/mm]
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> Ist dies richtig aufgeschrieben?
Hallo,
ich habe sehr gut folgen können.
Eventuell schiebst Du unten noch was dazwischen:
>
> Aus der Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]
> betrachte ich die Folge [mm]\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]
> Da 2 > 0 und e^(beliebig was) > 0 und [mm]k^2[/mm] > 0 gilt :
>
> [mm]\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm] = | [mm]\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm] |
>
> und [mm]|\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm] = | [mm]\bruch{2}{k^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| \le |\bruch{2}{k^2}|[/mm] +
> [mm]|\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm]
>
> Da e^(eine negative Zahl) < 1 gilt [mm]|\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm]
> und damit gilt [mm]|\bruch{2}{k^2}|[/mm] + [mm]|\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm]
> < [mm]\bruch{2}{k^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{k^2}[/mm]
>
> Also ist [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm] <
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2}[/mm]
Da [mm] \summe\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert, konvergiert [mm] 3\summe\bruch{1}{k^2} =\summe\bruch{3}{k^2}.
[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2}[/mm] ist also konvergente
> Majorante von
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]
> und damit kovergiert auch
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Sa 19.12.2009 | | Autor: | etoxxl |
Alles klar, danke!
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