differenzierbarkeit und stetigkeit... < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 10.06.2004 | | Autor: | pfote |
1. Gegeben ist ferner die reelle Funktion g: x à g(x); Dg = [0:3]
f1(x) für 0 <= x <= 2
mit g(x) =
f1(x) für 2 x <= 3
f1(x) = - ¼ x4 + x3
f1(x) = - x3 + 3x2
a) Untersuchen sie rechnerisch ob die in ihrer Definitionsmenge Dg = [0:3] stetige Funktion g an der Stelle x0 = 2 differenzierbar ist.
à Warum mache da erst g(x) und dann die erste Ableitung?
- ¼ x4 + x3 für 0 <= x <= 2
mit g(x) =
- x3 + 3x2 für 2 x <= 3
- x3 + 3x2 für 0 < x < 2
g (x) =
- 3x2 + 6x für 2 x < 3
2. Berechnen sie die nun noch den Termin g(x) so, dass die Funktion k an der Stelle x0 = 6 stetig und differenzierbar ist.
p(x) = - ¼ x2 + 2x für x <= 6
k(x) =
g(x) = mx + c für x > 6
à wie funktioniert das?
3. Gegeben ist ferner die in ihrer gesamten Definitionsmenge Dg = IR stetige reelle Funktion
g: x à g (x); x Dg mit
f(x) = 1/3 x3 x 2/3 für x >= 0
g(x) =
mx 2/3 für x < 0 und m IR
Berechnen Sie m so, dass die Funktion g in ihrer Definitionsmenge Dg = IR differenzierbar ist.
à wie geht das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Do 10.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Pfote,
ich würde dir gerne helfen, aber dein Beitrag ist nahezu unlesbar.
Editiere ihn bitte noch einmal und benutze dabei unseren "Formeleditor".
Informationen, wie man das macht, findest du unter:
www.matheraum.de/mm
Du kannst das auch gerne erst in unserem Testforum ausprobieren.
Sobald du das gemacht hast, werden wir dir (gerne!  ) weiterhelfen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Do 10.06.2004 | | Autor: | pfote |
1. Gegeben ist ferner die reelle Funktion g: x à g(x); Dg = [0:3]
mit g(x) = f1(x) für 0 <= x <= 2 und f1(x) für 2 x <= 3
f1(x) = - ¼ x4 + x3
f1(x) = - x3 + 3x2
a) Untersuchen sie rechnerisch ob die in ihrer Definitionsmenge Dg = [0:3] stetige Funktion g an der Stelle x0 = 2 differenzierbar ist.
--> Warum mache da erst g(x) und dann die erste Ableitung?
mit g(x) = - ¼ x4 + x3 für 0 <= x <= 2 und - x3 + 3x2 für 2 x <= 3
g (x) = - x3 + 3x2 für 0 < x < 2 und - 3x2 + 6x für 2 x < 3
2. Berechnen sie die nun noch den Termin g(x) so, dass die Funktion k an der Stelle x0 = 6 stetig und differenzierbar ist.
k(x) = p(x) = - ¼ x2 + 2x für x <= 6 und g(x) = mx + c für x > 6
--> wie funktioniert das?
3. Gegeben ist ferner die in ihrer gesamten Definitionsmenge Dg = IR stetige reelle Funktion
g: x à g (x); x Dg mit
g(x) = f(x) = 1/3 x3 x 2/3 für x >= 0 und mx 2/3 für x < 0 und m IR
Berechnen Sie m so, dass die Funktion g in ihrer Definitionsmenge Dg = IR differenzierbar ist.
--> wie geht das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Pfote,
prüfe bitte nochmal deine Links, denn bei mir wird leider nichts, außer jeweils einer Fehlermeldung, angezeigt.
Vielleicht wäre es doch besser, wenn du dich etwas in den Formeleditor einarbeiten würdest (das dauert eigentlich nicht allzu lange und es wird dir bei deinen künftigen Fragen im Matheraum auch helfen, wenn du dich dran gewöhnt hast), druck dir evtl. die Seiten mit den Formeleingabezeichen aus (oder öffne diese Seite in einem zweiten Browser-Fenster, so dass du beim Abtippen deiner Aufgabe immer zwischen den Fenstern wechseln kannst).
Andernfalls kannst du ja nochmals versuchen, die Links zu deiner Aufgabe zu setzen...
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Do 10.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Pfote,
ich kann deine Dateien leider nicht öffnen.
Auch wenn es dir jetzt zu mühsam erscheint, übe bereits jetzt bitte im Testforum mit unserer Formeleingabe umzugehen, damit du es bei der nächsten Frage beherrschst.
Du erwartest ja auch von uns, dass wir uns Mühe geben und helfen. Wo aber soll unsere Motivation herkommen, wenn wir noch nicht mal das Gefühl haben, dass der Fragesteller selber sich Mühe gibt?
Und die minimal einzufordernde Mühe sollte eine lesbare Aufgabenstellung sein. Klar, in manchen Foren (in den meisten) geht das nicht, aber Marc hat das hier zum Glück möglich gemacht und dann sollte es man auch nutzen.
Ich muss jetzt erst einmal Schluss machen. Wenn die Frage morgen noch nicht beantwortet ist, werde ich morgen früh ausnahmsweise noch einmal versuchen mit deinem jetzt editierten Aufgabentext zurechtzukommen. Demnächst gibt es aber nur noch Antworten auf Fragen, die mit Hilfe der Formeleingabe erstellt wurden.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Do 10.06.2004 | | Autor: | pfote |
hi!
sorry, dass das etzt net ging, aber ich hatte noch ne falsche adresse im kopierten drinnen! man kann einfach nach ca. 2 wochen lernen kaum noch mut und mühe zeigen! tut mir sorry, aber da lass auch irgendwann ich nach...
gruß und danke
pfote
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 10.06.2004 | | Autor: | pfote |
www.8ung.at/pfote-online/difstet.doc
www.8ung.at/pfote-online/difstet.pdf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Do 10.06.2004 | | Autor: | pfote |
hi,
sorry, aber einarbeitung würde mir zu lange dauern, da ich am dienstag das letzte mal in meinem leben erst mal matheformeln schreiben werde und dann nie wieder...
gruß
pfote
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Pfote,
ich habe jetzt erst Stefans Text gelesen und muß dir noch sagen:
Ich schließe mich Stefan an!
Auch, wenn du am Dienstag das letzte Mal in deinem Leben Matheformeln schreiben wirst (glaubst du das wirklich?  ), so solltest du dennoch auch einmal über die von Stefan angeführten Gründe zur Benutzung des Formeleditors nachdenken.
Leider muss auch ich mich jetzt erst einmal verabschieden, denn ich muss morgen relativ früh aufstehen...
PS für Helfer(innen): Ich habe die Links mittlerweile korrigiert, die Aufgaben findet man nun in dem Posting mit der Bemerkung in der Überschrift:
korrigierte URLs bzw. direkt:https://matheraum.de/read?f=1&t=1276&i=1287
Ferner habe ich auch die Dateien von Pfote hochgeladen, sie sind hier im Anhang (siehe Dateianhänge) zu finden!
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Pfote!
Da du ja nur noch ein paar Tage Mathe hast, bist du ja sicherlich nicht mehr an aufwändigen Erklärungen interessiert (denn das bringt dir ja jetzt nichts mehr, deiner Logik folgend), sondern nur noch an der Lösung.
Wir hatten die Funktion
[mm]g(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} - \frac{1}{4}x^4 + x^3 & , & 0\le x\le 2,\\[5pt] - x^3 + 3x^2 & , & 2 \le x \le 3. \end{array} \right.[/mm]
Zunächst vergewissern wir uns noch einmal, dass $g$ an der Stelle $2$ wohldefiniert (und damit dann stetig ist). "Wohldefiniert" heißt hier: $g$ wurde an der Stelle $x=2$ hat zweimal definiert. Wir sollten uns klar machen, dass beides mal das Gleiche rauskommt, sonst wäre $g$ gar keine Funktion. Da die abschnittsweise definierten Funktionen aber stetig sind, ist in diesem Fall auch $g$ stetig. Die Wohldefiniertheit ist aber wegen
[mm] $-\frac{1}{4}\cdot 2^4 [/mm] + [mm] 2^3 [/mm] = 4 = [mm] -2^3 [/mm] + [mm] 3\cdot 2^2$
[/mm]
erfüllt, daher ist $g$ stetig.
Nun schauen wir nach, ob $g$ differenzierbar ist. Wir müssen überprüfen, ob der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle $2$ beide existieren und gleich sind.
Es gilt:
[mm]\lim\limits_{x \uparrow 2} \frac{g(x) - g(2)}{x-2} = \lim\limits_{x \uparrow 2} \frac{-\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 4}{x-2} \stackrel{(\*)}{=} \lim\limits_{x \uparrow 2} (-x^3 + 3x^2) = -2^3 + 3\cdot 2^2 = -8 + 12 = 4[/mm]
(an der Stelle (*) habe ich de l'Hospital angewendet)
und
[mm]\lim\limits_{x \downarrow 2} \frac{g(x) - g(2)}{x-2} = \lim\limits_{x \downarrow 2} \frac{-x^3 + 3x^2}{x-2} \stackrel{(\*)}{=} \lim\limits_{x \uparrow 2} (-3x^2 + 6x) = -3 \cdot 2^2 + 6\cdot 2 = -12 + 12 = 0[/mm]
(an der Stelle (*) habe ich de l'Hospital angewendet).
Damit haben wir:
[mm]\lim\limits_{x \uparrow 2} \frac{g(x) - g(2)}{x-2} = 4 \ne 0 = \lim\limits_{x \downarrow 2} \frac{g(x) - g(2)}{x-2}[/mm],
woraus folgt, dass $g$ an der Stelle [mm] $x_0=2$ [/mm] nicht differenzierbar ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Wir haben die Funktion
[mm]k(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}- \frac{1}{4}x^2 + 2x & , & x \le 6,\\[5pt] g(x)=mx+c & , & x>6. \end{array} \right.[/mm]
Es gilt:
$k(6) = - [mm] \frac{1}{4} \cdot 6^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot [/mm] 6 = 3$.
$k$ ist genau dann an der Stelle [mm] $x_0=6$ [/mm] stetig, wenn gilt:
(1) $3 = [mm] \lim\limits_{k \downarrow 6} [/mm] k(6) = m [mm] \cdot [/mm] 6 + c$.
$k$ ist genau dann an der Stelle [mm] $x_0=6$ [/mm] differenzierbar, wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle [mm] $x_0=6$ [/mm] beide existieren und übereinstimmen. Wir rechnen beide Grenzwerte aus:
[mm] $\lim\limits_{x \uparrow 6} \frac{k(x) - k(6)}{x-6} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \uparrow 6} \frac{-\frac{1}{4}x^2 + 2x - 3}{x-6} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \uparrow 6} (-\frac{1}{2}x [/mm] + 2) = [mm] -\frac{1}{2} \cdot [/mm] 6 + 2 = -1$
und
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 6} \frac{k(x) - k(6)}{x-6} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \downarrow 6} \frac{mx+c-3}{x-3} [/mm] = m$.
Es muss also gelten: $m=-1$, und wenn dies gilt, dann ist $h$ auch an der Stelle [mm] x_0=6$ [/mm] differenzierbar.
Aus (1) folgern wir:
$c = 3 - m [mm] \cdot [/mm] 6 = 3+6 = 9$.
Im Falle $g(x) = -x+9$ ist also $k$ an der Stelle [mm] $x_0=6$ [/mm] stetig und differenzierbar.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Pfote!
Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle [mm] $x_0=0$, [/mm] also
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 - x}{x} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \downarrow 0} (x^2-1) [/mm] = -1$
muss mit dem linksseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle [mm] $x_0=0$, [/mm] also
[mm] $\lim\limits_{x \uparrow 0} \frac{g(x) - g(0)}{x-0} [/mm] = m$
übereinstimmen.
Daraus folgt: $m=-1$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 11.06.2004 | | Autor: | pfote |
also nur noch ne folgerungsfrage:
--> die Stetigkeit rechne ich einfach aus, indem ich:
lim (x-2) = g (x) = lim (x+2) rechne? (das mit den Intervallen ist mir schon klar, welche Funktion ich dann nehmen muss)
--> und bei Differenzierabarkeit von g(x) erst mal die erste Ableitung bilde --> g'(x) und dann dies wieder so rechne: lim (x-2) = lim (x+2) ?
also vom prinzip her das gleiche wie mit der stetigkeit, nur dass ich die 1. Ableitung nehme? und nur zwei mal das mit lim bei differenzierbarkeit ausrechne und bei stetigkeit zusätzlich g(x)?
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