Urbild bestimmen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Sa 26.01.2013 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Sei
[mm] F1={\emptyset, (-∞, -1], (-1, ∞), \IR}, \Omega1=\IR
[/mm]
[mm] F2={\emptyset, [0, \bruch{1}{4}), [\bruch{1}{4}, 1], [0, 1]}, \Omega2=[0, [/mm] 1]
g: [mm] \IR [/mm] -> [0, 1]
g(x) = [mm] x^{2}, [/mm] falls -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
1, sonst
bestimmen Sie das Urbild [mm] g^{-1}(F2). [/mm] |
für [0, [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] ist das Urbild [mm] (-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2}), [/mm] das denke ich habe ich verstanden, weil beide quadriert [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ergibt, aber bei [mm] [\bruch{1}{4}, [/mm] 1] komme ich nicht weiter, ich hab
[mm] g^{-1}([\bruch{1}{4}, [/mm] 1]) = {x [mm] \in \IR [/mm] | g(x) [mm] \in [\bruch{1}{4}, [/mm] 1]}
das ist ja die Definition
aber wie gehe ich weiter vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 So 27.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo.
> Sei
> [mm]F1={\emptyset, (-∞, -1], (-1, ∞), \IR}, \Omega1=\IR[/mm]
>
> [mm]F2={\emptyset, [0, \bruch{1}{4}), [\bruch{1}{4}, 1], [0, 1]}, \Omega2=[0,[/mm]
> 1]
> g: [mm]\IR[/mm] -> [0, 1]
>
> g(x) = [mm]x^{2},[/mm] falls -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> 1, sonst
>
> bestimmen Sie das Urbild [mm]g^{-1}(F2).[/mm]
benutz' mal bitte die Vorschaufunktion; dann siehst Du selbst, wie gut
lesbar Deine Aufgabe hier ist (quasi gar nicht). Hilfe zu den Formeln findest
Du hier (klick!) bzw. auch ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!).
> für [0, [mm]\bruch{1}{4})[/mm] ist das Urbild [mm](-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2}),[/mm]
> das denke ich habe ich verstanden, weil beide quadriert
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ergibt,
Na, wir wollen doch nun keine Ratespielechen machen. (Ich weiß, was Du
im Prinzip wohl meinst, und ich weiß auch, was Du mit "beides" meinst -
aber inhaltlich ist der Satz eigentlich leer, wenn der/die Mitdenkende nicht
selbst weiß, wie er die Aufgabe zu lösen hat) Wie zeigt man eine Mengengleichheit?
Du hast oben
[mm] $$g(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für }-1 \le x \le 1 \\ 1, & \mbox{für } |x| > 1 \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Dass in der Tat, wie behauptet, gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;\underbrace{g^{-1}(\;[0,1/4)\;)}_{=:A}=\underbrace{(-1/2,\;1/2)}_{=:B}\,,$$
[/mm]
ergibt sich, denn (im Folgenden meint [mm] "$\subseteq$" [/mm] einfach nur, dass "$A [mm] \subseteq [/mm] B$"
gilt, und [mm] "$\supseteq$" [/mm] meint, dass "$B [mm] \subseteq A\;\;\;(\iff [/mm] A [mm] \supseteqq [/mm] B)$" gilt) wir zeigen nun:
[mm] "$\subseteq$" [/mm] Ist $x [mm] \in A\,,$ [/mm] so folgt $0 [mm] \le [/mm] g(x) < [mm] 1/4\,.$ [/mm] Nach
Definition von [mm] $g\,$ [/mm] muss dann $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ sein, denn für $|x| > [mm] 1\,$ [/mm] ist
ja $g(x)=1 [mm] \notin [0,1/4)\,.$ [/mm] Also suchen wir, nach Definition von [mm] $g\,,$ [/mm] nun alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $x^2 [/mm] < [mm] 1/4\,,$ [/mm] es folgt $x [mm] \in (-1/2,\;1/2)\,.$
[/mm]
[mm] "$\supseteq$" [/mm] Ist $x [mm] \in B\,,$ [/mm] also wenn $x [mm] \in (-1/2,\;1/2)$ [/mm] gilt, so folgt
aus $-1/2 < x < 1/2$ insbesondere auch $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 1\,,$ [/mm] also gilt per Definitionem von [mm] $g\,$
[/mm]
[mm] $$g(x)=x^2=|x|^2 \in [/mm] [0,1/4)$$
wegen $|x| < [mm] 1/2\,.$
[/mm]
Aus [mm] "$\subseteq$" [/mm] und [mm] "$\supseteq$" [/mm] folgt, dass die Gleichheit [mm] $A=B\,,$ [/mm] die in [mm] $(\*)$ [/mm] behauptet
wurde, bewiesen ist!
> aber bei [mm][\bruch{1}{4},[/mm] 1] komme ich
> nicht weiter, ich hab
>
> [mm]g^{-1}([\bruch{1}{4}, 1]) = \{x\in \IR| g(x)\in [\bruch{1}{4},1]\}[/mm]
> das ist ja die Definition
> aber wie gehe ich weiter vor?
Zeichne Dir mal die Funktion. Dann wirst Du alleine schon "sehen können",
dass [mm] $[1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1\red{]}\;)\,.$ [/mm]
(Edit: ) zu ] korrigiert!)
Das bessere Symbol wäre hier allerdings [mm] $\subsetneqq$ [/mm] (echte Teilmenge).
Ich behaupte aber mal, dass man den Rest selbst hinbekommt, wenn man
nur bedenkt, dass die genannte Funktion symmetrisch zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] ist!
(Man sagt auch: [mm] "$g\,$ [/mm] ist eine gerade Funktion!")!
Zeige halt danach meinetwegen auch noch die Mengengleichheit, die Du
danach dann gemäß meines Hinweises in ergänzender Weise notiert
haben wirst.
P.S. So ein paar Verständnisfragen für Dich: Was wäre [mm] $g^{-1}(\{2\})$? [/mm] Was wäre [mm] $g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{9}{4},\;\tfrac{9}{4}\,\})$? [/mm]
Und was wäre [mm] $g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{4}{9},\;\tfrac{4}{9}\,\})$?
[/mm]
(Bitte nicht die Definition nur angepasst hinschreiben!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:56 So 27.01.2013 | | Autor: | kioto |
hallo Marcel, danke für deine so schnelle und ausführliche Antwort. bei der Eingabe der Formel mit Latex kam die ganze zeit Fehlermeldung....
> Du hast oben
> [mm]g(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für }-1 \le x \le 1 \\ 1, & \mbox{für } |x| > 1 \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.[/mm]
>
> Dass in der Tat, wie behauptet, gilt
>
> [mm](\*)\;\;\;\underbrace{g^{-1}(\;[0,1/4)\;)}_{=:A}=\underbrace{(-1/2,\;1/2)}_{=:B}\,,[/mm]
> ergibt sich, denn (im Folgenden meint "[mm]\subseteq[/mm]" einfach
> nur, dass "[mm]A \subseteq B[/mm]"
> gilt, und "[mm]\supseteq[/mm]" meint,
> dass "[mm]B \subseteq A\;\;\;(\iff A \supseteqq B)[/mm]" gilt) wir
> zeigen nun:
>
>
>
> "[mm]\subseteq[/mm]" Ist [mm]x \in A\,,[/mm] so folgt [mm]0 \le g(x) < 1/4\,.[/mm]
> Nach
> Definition von [mm]g\,[/mm] muss dann [mm]x \in [-1,1][/mm] sein, denn für
> [mm]|x| > 1\,[/mm] ist
> ja [mm]g(x)=1 \notin [0,1/4)\,.[/mm] Also suchen wir, nach
> Definition von [mm]g\,,[/mm] nun alle [mm]x \in \IR[/mm] mit
> [mm]x^2 < 1/4\,,[/mm] es folgt [mm]x \in (-1/2,\;1/2)\,.[/mm]
>
> "[mm]\supseteq[/mm]" Ist [mm]x \in B\,,[/mm] also wenn [mm]x \in (-1/2,\;1/2)[/mm]
> gilt, so folgt
> aus [mm]-1/2 < x < 1/2[/mm] insbesondere auch [mm]-1 \le x \le 1\,,[/mm]
> also gilt per Definitionem von [mm]g\,[/mm]
> [mm]g(x)=x^2=|x|^2 \in [0,1/4)[/mm]
> wegen [mm]|x| < 1/2\,.[/mm]
>
das fand ich auch logisch weil ich das sehe wenn die die Funktion plotte
> > [mm]g^{-1}([\bruch{1}{4}, 1]) = \{x\in \IR| g(x)\in [\bruch{1}{4},1]\}[/mm]
>
> > das ist ja die Definition
> > aber wie gehe ich weiter vor?
>
> Zeichne Dir mal die Funktion. Dann wirst Du alleine schon
> "sehen können",
> dass [mm][1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1)\;)\,.[/mm] Das
> bessere Symbol wäre hier allerdings [mm]\subsetneqq[/mm] (echte
> Teilmenge).
das mit 1/2 finde ich logisch, weil ich es auch sehe, aber warum ∞? wo sehe ich es? bei 0.25 0.5, bei 1 ist 1, aber es muss ja kleiner 1 sein, bzw. 1/4 < x < 1, und g(x) <1, und ∞ ist doch >1 oder nicht?
> Ich behaupte aber mal, dass man den Rest selbst
> hinbekommt, wenn man
> nur bedenkt, dass die genannte Funktion symmetrisch zur
> [mm]y\,[/mm]-Achse ist!
> (Man sagt auch: "[mm]g\,[/mm] ist eine gerade Funktion!")!
>
> Zeige halt danach meinetwegen auch noch die
> Mengengleichheit, die Du
> danach dann gemäß meines Hinweises in ergänzender Weise
> notiert
> haben wirst.
>
> P.S. So ein paar Verständnisfragen für Dich: Was wäre
> [mm]g^{-1}(\{2\})[/mm]?
das wär ja >1, und das ist doch eigentlich bei g(x) nicht definiert, oder übersehe ich was?
Was wäre
> [mm]g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{9}{4},\;\tfrac{9}{4}\,\})[/mm]?
hier denke ich genau so wie oben
> Und was wäre
> [mm]g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{4}{9},\;\tfrac{4}{9}\,\})[/mm]?
(-2/3, 2/3)?
gruß
kioto
> (Bitte nicht die Definition nur angepasst hinschreiben!)
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 So 27.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo Marcel, danke für deine so schnelle und
> ausführliche Antwort. bei der Eingabe der Formel mit Latex
> kam die ganze zeit Fehlermeldung....
>
> > Du hast oben
> > [mm]g(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für }-1 \le x \le 1 \\ 1, & \mbox{für } |x| > 1 \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.[/mm]
>
> >
> > Dass in der Tat, wie behauptet, gilt
> >
> >
> [mm](\*)\;\;\;\underbrace{g^{-1}(\;[0,1/4)\;)}_{=:A}=\underbrace{(-1/2,\;1/2)}_{=:B}\,,[/mm]
> > ergibt sich, denn (im Folgenden meint "[mm]\subseteq[/mm]"
> einfach
> > nur, dass "[mm]A \subseteq B[/mm]"
> > gilt, und "[mm]\supseteq[/mm]"
> meint,
> > dass "[mm]B \subseteq A\;\;\;(\iff A \supseteqq B)[/mm]" gilt) wir
> > zeigen nun:
> >
> >
> >
> > "[mm]\subseteq[/mm]" Ist [mm]x \in A\,,[/mm] so folgt [mm]0 \le g(x) < 1/4\,.[/mm]
> > Nach
> > Definition von [mm]g\,[/mm] muss dann [mm]x \in [-1,1][/mm] sein, denn für
> > [mm]|x| > 1\,[/mm] ist
> > ja [mm]g(x)=1 \notin [0,1/4)\,.[/mm] Also suchen wir, nach
> > Definition von [mm]g\,,[/mm] nun alle [mm]x \in \IR[/mm] mit
> > [mm]x^2 < 1/4\,,[/mm] es folgt [mm]x \in (-1/2,\;1/2)\,.[/mm]
> >
> > "[mm]\supseteq[/mm]" Ist [mm]x \in B\,,[/mm] also wenn [mm]x \in (-1/2,\;1/2)[/mm]
> > gilt, so folgt
> > aus [mm]-1/2 < x < 1/2[/mm] insbesondere auch [mm]-1 \le x \le 1\,,[/mm]
> > also gilt per Definitionem von [mm]g\,[/mm]
> > [mm]g(x)=x^2=|x|^2 \in [0,1/4)[/mm]
> > wegen [mm]|x| < 1/2\,.[/mm]
> >
> das fand ich auch logisch weil ich das sehe wenn die die
> Funktion plotte
>
>
> > > [mm]g^{-1}([\bruch{1}{4}, 1]) = \{x\in \IR| g(x)\in [\bruch{1}{4},1]\}[/mm]
>
> >
> > > das ist ja die Definition
> > > aber wie gehe ich weiter vor?
> >
> > Zeichne Dir mal die Funktion. Dann wirst Du alleine schon
> > "sehen können",
> > dass [mm][1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1)\;)\,.[/mm]
> Das
> > bessere Symbol wäre hier allerdings [mm]\subsetneqq[/mm] (echte
> > Teilmenge).
> das mit 1/2 finde ich logisch, weil ich es auch sehe, aber
> warum ∞? wo sehe ich es? bei 0.25 0.5, bei 1 ist 1, aber
> es muss ja kleiner 1 sein, bzw. 1/4 < x < 1, und g(x) <1,
> und ∞ ist doch >1 oder nicht?
na, da war auch ein Fehler von mir. Anstatt [mm] $g^{-1}([1/4,\;1\red{)})$ [/mm]
meinte ich nätürlich auch [mm] $g^{-1}([1/4,1\red{]})\,.$ [/mm] Und es ist
[mm][1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1\red{]}\;)\,.[/mm]
Das korrigiere ich nochmal. Und wie gesagt, denke (jetzt nochmal) drüber
nach: Was gilt denn per Definitionem für jedes $x [mm] \ge 1\,,$ [/mm] wenn Du dann
[mm] $g(x)\,$ [/mm] hinschreibst? Ich sehe dann jedenfalls sofort, dass $1 [mm] \in [1/4,\;1]$
[/mm]
gilt...
> > Ich behaupte aber mal, dass man den Rest selbst
> > hinbekommt, wenn man
> > nur bedenkt, dass die genannte Funktion symmetrisch zur
> > [mm]y\,[/mm]-Achse ist!
> > (Man sagt auch: "[mm]g\,[/mm] ist eine gerade Funktion!")!
> >
> > Zeige halt danach meinetwegen auch noch die
> > Mengengleichheit, die Du
> > danach dann gemäß meines Hinweises in ergänzender Weise
> > notiert
> > haben wirst.
> >
> > P.S. So ein paar Verständnisfragen für Dich: Was wäre
> > [mm]g^{-1}(\{2\})[/mm]?
> das wär ja >1, und das ist doch eigentlich bei g(x) nicht
> definiert, oder übersehe ich was?
Was Du meinst, ist eher, dass der Wert [mm] $2\,$ [/mm] NICHT ANGENOMMEN wird.
Anders gesagt: Es gibt halt kein [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $g(x)=2\,.$ [/mm] Also folgt [mm] $g^{-1}(\{2\})=\emptyset\,.$
[/mm]
> Was wäre
> > [mm]g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{9}{4},\;\tfrac{9}{4}\,\})[/mm]?
> hier denke ich genau so wie oben
Also wieder die leere Menge - genau. (Ist Dir der Unterschied klar zwischen
"der Wert ist nicht definiert" und "der Wert wird nicht angenommen"? Bei
etwa $f(x):=1+1/x$ als Funktion $f [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] ist
die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nicht definiert. Die Funktion [mm] $f\,$ [/mm]
nimmt allerdings den Wert [mm] $1\,$ [/mm] nicht an. Das sind zwei unterschiedliche
Sachen - hier wäre etwa [mm] $f^{-1}(\{1\})=\emptyset\,,$ [/mm] und [mm] "$f(0)\,$ [/mm] EXISTIERT NICHT", weil $0 [mm] \notin \IR \setminus \{0\}\,.$)
[/mm]
> > Und was wäre
> > [mm]g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{4}{9},\;\tfrac{4}{9}\,\})[/mm]?
> (-2/3, 2/3)?
Genau. Und nur mal nebenbei gefragt: Was ist nun
[mm] $$g^{-1}(\{\;-\;\tfrac{4}{9}\;\})\;\;\;\text{ ?}$$
[/mm]
Wie hättest Du diese Vorüberlegung bei
[mm] $$g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{4}{9},\;\tfrac{4}{9}\,\})$$
[/mm]
einbringen können?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:41 So 27.01.2013 | | Autor: | kioto |
Hallo Marcel,
> > > Zeichne Dir mal die Funktion. Dann wirst Du alleine schon
> > > "sehen können",
> > > dass [mm][1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1)\;)\,.[/mm]
> > Das
> > > bessere Symbol wäre hier allerdings [mm]\subsetneqq[/mm] (echte
> > > Teilmenge).
> > das mit 1/2 finde ich logisch, weil ich es auch sehe,
> aber
> > warum ∞? wo sehe ich es? bei 0.25 0.5, bei 1 ist 1, aber
> > es muss ja kleiner 1 sein, bzw. 1/4 < x < 1, und g(x) <1,
> > und ∞ ist doch >1 oder nicht?
>
> na, da war auch ein Fehler von mir. Anstatt
> [mm]g^{-1}([1/4,\;1\red{)})[/mm]
> meinte ich nätürlich auch [mm]g^{-1}([1/4,1\red{]})\,.[/mm] Und es
> ist
>
> [mm][1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1\red{]}\;)\,.[/mm]
>
> Das korrigiere ich nochmal. Und wie gesagt, denke (jetzt
> nochmal) drüber
> nach: Was gilt denn per Definitionem für jedes [mm]x \ge 1\,,[/mm]
> wenn Du dann
> [mm]g(x)\,[/mm] hinschreibst? Ich sehe dann jedenfalls sofort, dass
> [mm]1 \in [1/4,\;1][/mm]
> gilt...
ach ja...... aber muss es nicht > 1 sein? weil für [mm] \le [/mm] 1 ist 1 ja schon mit dabei
> Was Du meinst, ist eher, dass der Wert [mm]2\,[/mm] NICHT ANGENOMMEN
> wird.
> Anders gesagt: Es gibt halt kein [mm]x\,[/mm] mit [mm]g(x)=2\,.[/mm] Also
> folgt [mm]g^{-1}(\{2\})=\emptyset\,.[/mm]
danke! jetzt verstehe ich den Unterschied
Und nur mal nebenbei gefragt: Was ist nun
> [mm]g^{-1}(\{\;-\;\tfrac{4}{9}\;\})\;\;\;\text{ ?}[/mm]
ist hier nur (-2/3)?
> Wie
> hättest Du diese Vorüberlegung bei
> [mm]g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{4}{9},\;\tfrac{4}{9}\,\})[/mm]
> einbringen können?
>
die Funkion ist ja symmetrisch zu y Achse, deshalb braucht man hier nur das Vorzeichen umdrehen
eine gute Nacht
kioto
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:46 So 27.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kioto,
> Hallo Marcel,
>
> > > > Zeichne Dir mal die Funktion. Dann wirst Du alleine schon
> > > > "sehen können",
> > > > dass [mm][1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1)\;)\,.[/mm]
> > > Das
> > > > bessere Symbol wäre hier allerdings [mm]\subsetneqq[/mm] (echte
> > > > Teilmenge).
> > > das mit 1/2 finde ich logisch, weil ich es auch
> sehe,
> > aber
> > > warum ∞? wo sehe ich es? bei 0.25 0.5, bei 1 ist 1, aber
> > > es muss ja kleiner 1 sein, bzw. 1/4 < x < 1, und g(x) <1,
> > > und ∞ ist doch >1 oder nicht?
> >
> > na, da war auch ein Fehler von mir. Anstatt
> > [mm]g^{-1}([1/4,\;1\red{)})[/mm]
> > meinte ich nätürlich auch [mm]g^{-1}([1/4,1\red{]})\,.[/mm] Und es
> > ist
> >
> > [mm][1/2,\;\infty) \subseteq g^{-1}(\;[1/4,\;1\red{]}\;)\,.[/mm]
> >
> > Das korrigiere ich nochmal. Und wie gesagt, denke (jetzt
> > nochmal) drüber
> > nach: Was gilt denn per Definitionem für jedes [mm]x \ge 1\,,[/mm]
> > wenn Du dann
> > [mm]g(x)\,[/mm] hinschreibst? Ich sehe dann jedenfalls sofort,
> dass
> > [mm]1 \in [1/4,\;1][/mm]
> > gilt...
> ach ja...... aber muss es nicht > 1 sein? weil für [mm]\le[/mm] 1
> ist 1 ja schon mit dabei
es ist doch
[mm] $$g^{-1}([1/4,\;1])=\{x \in \IR \text{ mit }g(x) \in [1/4,\;1]\}\,,$$
[/mm]
also die Menge aller $x [mm] \in \IR$ [/mm] (d.h. ich VEREINIGE ALLE $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit der
Eigenschaft, die nun kommt:) mit der Eigenschaft, dass $1/4 [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \le 1\,.$ [/mm]
(Es gilt ja $g(x) [mm] \in [1/4,\;1] \iff [/mm] 1/4 [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \le 1\,.$)
[/mm]
Weil $1=g(3)=g(1000)=g(2)=g(1)=g(502323)$ und $1 [mm] \in [1/4,\;1]$ [/mm] sicherlich
gelten, folgt doch daraus dann auch
[mm] $$\{\,3,\;1000,\;2,\;1,\;502323\,\} \subseteq g^{-1}([1/4,\;1])\,.$$
[/mm]
Ebenso wüßten wir auch [mm] $\tfrac{4}{5} \in g^{-1}([1/4,\;1])\,,$ [/mm] weil halt [mm] $g(4/5)={(4/5)}^2=\tfrac{16}{25} \in [1/4,\;1]$ [/mm] gilt.
Mir ist jetzt leider noch nicht ganz klar, was Dir nicht ganz klar ist:
[mm] $[1/4,\;1]$ [/mm] ist Teilmenge des ZIELBEREICHS [mm] $Z\,,$ [/mm] wenn wir mal
$$g: [mm] \IR=:D \to Z:=\IR$$
[/mm]
in etwas übertriebener Manier schreiben - aber [mm] $g^{-1}([1/4,\;1])$ [/mm] wird dann
eine Teilmenge des DEFINITIONSBEREICHS [mm] $D\,$ [/mm] sein.
>
> > Was Du meinst, ist eher, dass der Wert [mm]2\,[/mm] NICHT ANGENOMMEN
> > wird.
> > Anders gesagt: Es gibt halt kein [mm]x\,[/mm] mit [mm]g(x)=2\,.[/mm] Also
> > folgt [mm]g^{-1}(\{2\})=\emptyset\,.[/mm]
>
> danke! jetzt verstehe ich den Unterschied
>
> Und nur mal nebenbei gefragt: Was ist nun
> > [mm]g^{-1}(\{\;-\;\tfrac{4}{9}\;\})\;\;\;\text{ ?}[/mm]
> ist
> hier nur (-2/3)?
Was sollte das sein? Wir schreiben ja [mm] $(a,b)=\{r \in \IR: a < r < b\}\,.$ [/mm] Was
ist dann $(a)$?
Wenn Du meinst, dass [mm] $g^{-1}(\{\;-\;\tfrac{4}{9}\;\})=\{\;-\;\tfrac{2}{3}\}$ [/mm] wäre: Gilt denn [mm] $g(\;-\;\tfrac{2}{3})\in \{\;-\;\tfrac{4}{9}\;\}$??
[/mm]
(Beachte: $r [mm] \in \{b\} \iff r=b\,.$)
[/mm]
> > Wie
> > hättest Du diese Vorüberlegung bei
> > [mm]g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{4}{9},\;\tfrac{4}{9}\,\})[/mm]
> > einbringen können?
> >
> die Funkion ist ja symmetrisch zu y Achse, deshalb braucht
> man hier nur das Vorzeichen umdrehen
Ne, die Symmetrie solltest Du an einer anderen Stelle ausnutzen. Ich sag's
nun mal so: Werte, die nicht angenommen werden, haben halt auch keine
Urbilder [mm] $x\,$ [/mm] so, dass [mm] $f(x)\,$ [/mm] dieser Wert sein kann - wie sollte er denn
sonst auch NICHT ANGENOMMEN werden?
Oben heißt das:
[mm] $$g^{-1}(\{\,\;-\;\tfrac{4}{9},\;\tfrac{4}{9}\,\})=g^{-1}(\{\,\;\tfrac{4}{9}\,\})$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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