Tangente an Parabel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:27 Do 30.11.2006 | | Autor: | Informacao |
| Aufgabe | gegeben sind die parabeln:
y=-0,5x²+1
y=0,25x²-0,5
Berechne die Schnittpunkte und bestimme dann die Gleichungen der Tangenten an die Parabeln in den Schnittpunkten. |
Hallo,
ich komme nicht mehr ganz weiter.
Ich habe schon die Schnittpunte bestimmt, indem ich gleichgesetzt habe und bekomme [mm] S_{1}(-\wurzel{2}|0) S_{2}(\wurzel{2}|0). [/mm] Das stimmt auch soweit.
Ich weiß jetzt nicht wie ich die Tangenten daran bestimmen soll. Ich weiß, dass eine Tangente im Punkt [mm] P_{1}(x1|y1) [/mm] die Gleichung y=2ax1*x-y1 hat. Aber ich habe schon versucht das mit den gleichungen der parabeln gleichzusetzen, nur das klappt nicht.
Ich habe mir auch eine Skizze gemacht, demnach müsste ich dann (denke ich) 4 Gleichungen für 4 Tangenten bestimmen.
Könnt ihr mir bitte mal zeigen, was da mit wem gleichgesetzt werden muss, damit ich weiterrechnen kann?
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> gegeben sind die parabeln:
>
> y=-0,5x²+1
> y=0,25x²-0,5
>
> Berechne die Schnittpunkte und bestimme dann die
> Gleichungen der Tangenten an die Parabeln in den
> Schnittpunkten.
> Hallo,
>
> ich komme nicht mehr ganz weiter.
> Ich habe schon die Schnittpunte bestimmt, indem ich
> gleichgesetzt habe und bekomme [mm]S_{1}(-\wurzel{2}|0) S_{2}(\wurzel{2}|0).[/mm]
> Das stimmt auch soweit.
>
> Ich weiß jetzt nicht wie ich die Tangenten daran bestimmen
> soll. Ich weiß, dass eine Tangente im Punkt [mm]P_{1}(x1|y1)[/mm]
> die Gleichung y=2ax1*x-y1 hat. Aber ich habe schon versucht
> das mit den gleichungen der parabeln gleichzusetzen, nur
> das klappt nicht.
>
> Ich habe mir auch eine Skizze gemacht, demnach müsste ich
> dann (denke ich) 4 Gleichungen für 4 Tangenten bestimmen.
>
> Könnt ihr mir bitte mal zeigen, was da mit wem
> gleichgesetzt werden muss, damit ich weiterrechnen kann?
>
> Viele Grüße
> Informacao
Eine Tangente hat ja, weil sie eine Gerade ist, die allgemeine Form y=mx+n
Die Formel [mm] y=\underbrace{2ax_{1}}_{m}*x\underbrace{-y_{1}}_{n} [/mm] gibt dir nun folgendes an.
[mm] x_{1} [/mm] und [mm] y_{1} [/mm] sind die Koordinaten deines Berührpunktes. Dieser soll ja in diesem Fall der Schnittpunkt sein.
Nehmen wir also [mm] S_{1}=(-\wurzel{2}/0)
[/mm]
Dann gilt:
[mm] t(x)=y=2a(-\wurzel{2})*x-0
[/mm]
Das Problem ist nun, dass dort noch das a auftaucht.
Es muss aber gelten, dass der Berührpunkt der Tangente der einzige Punkt ist, an dem sich beide Graphen Schneiden.
Das Problem hatten wir ja schonmal hier.
Also musst du die Tangente
[mm] -2\wurzel{2}a*x [/mm] und die Parabel, ich nehme mal -0,5x²+1 gleichsetzen.
Also:
[mm] 0,5x²-2\wurzel{2}a*x+1=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+\underbrace{4\wurzel{2}a}_{p}x\underbrace{-2}_{q}
[/mm]
Das ganze in die p-q-Formel einsetzen und dann den Wurzelterm Null werden lassen. Dann hast du dein a.
Sorry, ich kann es aus Zeitmangel nicht mehr ausführlicher machen.
Marius
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Hi,
danke für die Antwort. Stimmt es denn, dass ich 4 Gleichungen für die Tangente ausrechnen muss?
Ich habe jetzt bei dem, was du angefangen hast, weitergemacht und komme am Ende der p, q-Formel auf:
[mm] (\bruch{4\wurzel{2}a}{2})^{2}-2 [/mm] =0
Stimmt das?
Wie löse ich das jetzt auf?
Ich komme dan icht weiter
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi,
>
> danke für die Antwort. Stimmt es denn, dass ich 4
> Gleichungen für die Tangente ausrechnen muss?
Yep, es gibt pro Schnittpunkt zwei Tangenten.
>
> Ich habe jetzt bei dem, was du angefangen hast,
> weitergemacht und komme am Ende der p, q-Formel auf:
>
> [mm](\bruch{4\wurzel{2}a}{2})^{2}-2[/mm] =0
>
> Stimmt das?
Scheint so.
> Wie löse ich das jetzt auf?
> Ich komme dan icht weiter
>
[mm] (\bruch{4\wurzel{2}a}{2})^{2}-2=0
[/mm]
[mm] \gdw(2\wurzel{2}a)²=2
[/mm]
[mm] \gdw(4*2*a²)=4
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 8a²=4
[mm] \gdw a=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Wenn du das in die Tangente einsetzt, erhältst du:
[mm] t(x)=2*\wurzel{2}*\bruch{1}{\wurzel{2}}*x=2x.
[/mm]
Ein kleiner Tipp noch: Schau dir mal den anderen Schnittpunkt an. Und denk mal daran, dass beide Parabeln achsensymmetrisch sind. Du kannst dir so dir ein paar Rechnungen ersparen.
> Viele Grüße
> Informacao
Marius
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HI,
wenn die Parabeln achsensymmetrisch sind, muss gelten: y=ax²+c
Das lineare Glied fällt weg, stimmts?
Ich weiß aber nicht, wie ich anfangen soll, und mir das leichter machen kann..
Können wir nochmal neu anfangen, bevor ich aufschreibe? 
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Wenn du es nicht sofort siehst, wird es sehr schwer es zu erklären.
Also musst du alle vier Tangenten "zu Fuss" ausrechnen, wie das geht, haben wir ja besprochen.
Marius
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hm, okay, aber ich habe ganz sicher was falsch gemacht, weil die schnittpunkte können nicht bei [mm] (\wurzel{2}/0) [/mm] und bei [mm] (-\wurzel{2}/0) [/mm] sein ..wenn ich mir das aufmale passt das nicht..irgendwie komisch..
geht das echt nicht schnell zu erklären?
ich hab keinen nerv mehr...ich sitze schon so lange an der aufgabe :-(
Viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Die Schnittpunkte passen.
schau dir mal das Bild an, Per![[]](/images/popup.gif) Funkyplot gezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Do 30.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Ja, danke..das habe ich auch eben gemerkt..
Aber wie geht das schneller? Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll...
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Hallo Informacao,
wenn du die erste Ableitung einer deiner Parabalelgleichungen bildest und von einem Schnittpunkt die x-Koordinate einsetzt, bekommst du die Steigung der zugehörigen Tangente in diesem Schnittpunkt.
Hilft das??
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Do 30.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Nein, weil ich kann keine Ableitungen bilden..das hatten wir noch nicht..es sei denn, ihr erklärt es mir kurz...(sofern das kurz geht)..
Informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Do 30.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok, wenn ihr keine Ableitungen hattet, dann geht das so:
f(x)=-0,5x²+1
g(x)=0,25x²-0,5
[mm] S_1(\wurzel{2}|0), S_2(-\wurzel{2}|0)
[/mm]
Fangen wir mal mit den Tangenten an f(x) an:
t: y=mx+n
Dann würde ich erst t und f(x) gleichsetzen.
-0,5x²+1=mx+n
-x²+2=2mx+2n
x²-2=-2mx-2n
x²-2+2mx+2n=0
x²+2mx+2n-2=0
Nun die p-q-Formel:
[mm] x_{1;2}: m\pm\wurzel{m²-2n+2}
[/mm]
Wenn nur ein Schnittpunkt von Gerade un Parabel da sein soll, muss der Ausdruck unter der Wurzel 0 sein.
m²-2n+2=0
m²+2=2n
0,5m²+1=n
Also können wir in der allgemeinen Tangentengleichung für n auch 0,5m²+1 schreiben.
t: y=mx+0,5m²+1
Nun haben wir ja den einen Punkt [mm] S_1(\wurzel{2}|0) [/mm] und können ihn in die Geradengleichung einsetzen, da sie ja durch den Punkt geht:
[mm] 0=\wurzel{2}m+0,5m²+1
[/mm]
[mm] 0,5m²+\wurzel{2}m+1=0
[/mm]
[mm] m²+2*\wurzel{2}m+2=0
[/mm]
Wieder die p-q-Formel :)
Ausrechnen und du erhälst [mm] m=-\wurzel{2}. [/mm] Damit kannst du dann auch n berechnen (0,5m²+1=n) und du hast deine Tangentengleichung an f(x) in dem einen Schnittpunkt. Das könntest du nun für die anderen 3 Schnittpunkte wiederholen.
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Hallo Informacao,
da hätte ich Angst dir die Zeit zu stehlen, denn es scheint
ja auch einen Weg ohne Ableitung zu geben.
Falls es dich dennoch interessiert:
Für [mm]f(x)=ax^{\color{blue}2\color{black}}+bx^{\color{green}1\color{black}}+c[/mm] lautet die erste Ableitung: [mm]f'(x)={\color{blue}2\color{black}}ax+{\color{green}1\color{black}}b[/mm]
Gruß (der voreilige) Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Do 30.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Informacao,
das kannst du dir kurz hier anschauen:
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Ableitungen
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Do 30.11.2006 | | Autor: | miomi |
ich würde wie folgt vorgehen:
Euer Lehrer hat bestmmt Euch mitgeteilt, dass der Anstieg einer Tangente an y = a x² m= 2*a*x1 ist.
Rechenbeispiel für y = -0,5x²+1 und [mm] P(\wurzel{2};0) [/mm] sieht das ganz einfach so aus:
m = 2 * (-0,5) [mm] *\wurzel{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{2} [/mm]
y = mx + n
Setze jetzt m und die Koordinaten des Punktes ein
0 = [mm] -\wurzel{2} *\wurzel{2} [/mm] + n
also n = 2
somit lautet die erste Tangentengleichung
y = [mm] -\wurzel{2} [/mm] x + 2
Ich hoffe ich habe keinen Tippfehler.
Nach diesem Schema müsstest du ganz schnell die anderen 3 Tangentengleichungen erhalten
mfg miomi
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HI,
sorry, dass der thread so lang wird, aber ich würde das mal sehr gerne anders versuchen:
Ich habs mal mit Ableitungen versucht dann erhalte ich:
f'(x)=1x
und g'(x)=-x
das heißt, dass das jetzt die steigung der tangente im schnittpunkte ist..
so wie muss ich jetzt weiter verfahren?
viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 30.11.2006 | | Autor: | miomi |
Also wenn Du es mit der Ableitung machst, sieht das wie folgt aus:
y = -0,5 x² + 1
y' = -1 x
f'(x1) = m = -1 * [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{2} [/mm] (Anstieg)
y = mx + n mit P [mm] (\wurzel{2}|0)
[/mm]
kannst Du jetzt n ausrechen
siehe meine Mitteilung
Viele liebe Grüße Miomi
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ok, verstehe! kannst du mir einfach mal schreiben, wie das für die anderen tangenten aussieht, ich stehe gerade echt total aufm schlauch und denken kann ich auch nicht mehr :-(
bitte und vielen dank und viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 30.11.2006 | | Autor: | miomi |
Hallo Informacao,
eigentlich müsste auch selber etwas tun !
Ich rechne Dir noch ein Beispiel vor, die anderen machste selber.
[mm] P(-\wurzel{2}|0) [/mm] und y=0,25x²-0,5
y' = 0,5 x
f'(x1) = -0,5 [mm] *\wurzel{2} [/mm]
y = mx +n
0 =- 0,5 [mm] \wurzel{2} [/mm] *(- [mm] \wurzel{2}) [/mm] +n
somit n = - 1 somit y = - 0,5 [mm] \wurzel{2} [/mm] x - 1
Alles ohne Gewähr
Liebe Grüße Miomi,
die auch ab und an auf dem Schlauch steht
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> HI,
>
> sorry, dass der thread so lang wird,
Aber das macht doch überhaupt nur fast ganz wenig.
Allerdings komme ich auf:
f'(x)=-x
und
g'(x)=0,5x
> das heißt, dass das jetzt die steigung der tangente im
> schnittpunkte ist..
Nöö, denn ...
.. du musst die x-Koordinate des Schnittpunktes [mm] (\wurzel2 [/mm] ) einsetzen:
[mm]m_f=-\wurzel2[/mm]
[mm]m_g=0,5\wurzel2[/mm]
Deine Tangentengleichungen sind also fast fertig mit:
[mm]y=-\wurzel2*x + \color{blue}n_1[/mm]
[mm]y=0,5\wurzel2*x + \color{green}n_2[/mm]
Gruß Karthagoras
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Do 30.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Ein großes dankeschön an alle! ich habs verstanden!!
viele grüße
informacao
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