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| Aufgabe | a) Die Funktion f ist gegeben durch [mm] f(x)=3x^{5}+3x^{3}-x+4
[/mm]
Begründe, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Punkt P(0,4) ist.
b) Die Funktion f ist gegeben duch [mm] f(x)=2(x-1)^{7}-3(x-1)^{3}+5. [/mm]
Begründe, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Punkt P(1,5) ist. |
Hallo,
wir haben erst vor kurzem mit dem neuen thema angefangen..und ich weiß nicht, wie das ist..
Ich weiß, dass gelten muss f(-x)=-f(x)
muss ich das jetzt einsetzen, die punkte?
und bei der b) muss ich erst auflösen oder wie?
viele grüße
informacao
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Hallo Informacao!
> a) Die Funktion f ist gegeben durch [mm]f(x)=3x^{5}+3x^{3}-x+4[/mm]
> Begründe, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Punkt
> P(0,4) ist.
>
> b) Die Funktion f ist gegeben duch
> [mm]f(x)=2(x-1)^{7}-3(x-1)^{3}+5.[/mm]
> Begründe, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Punkt
> P(1,5) ist.
> Hallo,
>
> wir haben erst vor kurzem mit dem neuen thema
> angefangen..und ich weiß nicht, wie das ist..
>
> Ich weiß, dass gelten muss f(-x)=-f(x)
Naja, nicht ganz. Das wäre für die Punktsymmetrie zum Ursprung. Allgemein muss gelten: f(a+x)+f(a-x)=2b, wenn die Funktion symmetrisch zu (a|b) ist. Hier hast du a=0 und b=4, das heißt, du musst berechnen: f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x).
> muss ich das jetzt einsetzen, die punkte?
> und bei der b) muss ich erst auflösen oder wie?
Nein, das denke ich nicht. Das wäre ja viel zu viel dumme Rechnerei und keine Mathematik mehr.  Auch hier musst du wohl einfach nur f(-x) berechnen, bzw. diesmal ist a=1 und b=5, also brauchst du: f(1+x)+f(1-x)=10.
Ach ja, die Formeln findest du auch hier.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:56 So 26.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Hi,
oh, das versteh ich jetzt garnicht. Das war die Hausaufgabe, aber irgendwie denke ich,d ass es auch anders gehen muss!
WIr hatten das mit den Formeln noch nicht...
Könnt ihr mir bitte nochmal helfen?
viele grüße
informacao
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Hallo!
> a) Die Funktion f ist gegeben durch [mm]f(x)=3x^{5}+3x^{3}-x+4[/mm]
> Begründe, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Punkt
> P(0,4) ist.
Ich versuche es mal über Verschiebungen:
Da bastele ich mir eine neue Funktion $g$ mit $g(x)=f(x)-4 = [mm] 3x^{5}+3x^{3}$. [/mm] Der Graph von $g$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch Verschiebung um 4 Einheiten in negativer $y$-Richtung.
Diese Verschiebung ändert an der Symmetrie nichts. Vergleiche das mal mit Deinem Geo-Dreieck. Egal, wo Du es hinverschiebst, es bleibt ein gleichschenkliges Dreieck mit Symmetrieachse.
Wir betrachten nun die Funktion $g$.
Bei der musst Du jetzt die Symmetrie zum Ursprung nachweisen.
$-g(-x)$ muss gleich $g(x)$ sein. Was dahinter steckt? Wenn wir $-g(-x)$ bilden, spiegeln wir am Ursprung. Und das Spiegelbild soll gleich dem Urbild sein, also $=g(x)$.
$-g(-x) = -( [mm] 3(-x)^{5}+3(-x)^{3} [/mm] ) = -( [mm] -3\,x^5 [/mm] - [mm] 3\,x^3) [/mm] = [mm] 3\,x^5 [/mm] + [mm] 3\,x^3 [/mm] = g(x)$
Der Graph von $g$ ist symmetrisch zum Ursprung. Dann ist der Graph von $f$ symmetrisch zu P$(0 [mm] \mid [/mm] 4).
> b) Die Funktion f ist gegeben duch
> [mm]f(x)=2(x-1)^{7}-3(x-1)^{3}+5.[/mm]
> Begründe, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Punkt
> P(1,5) ist.
Führe da mal eine Verschiebung um 1 Einheit in negativer $x$-Richtung und um 5 Einheiten in negativer $y$-Richtung durch und weise die Symmetrie des neuen Graphen zum Ursprung nach.
$g(x) = f(x+1)-5 = [mm] 2((x+1)-1)^{7}-3((x+1)-1)^{3}+5.-5 [/mm] = [mm] 2\,x^7 [/mm] - [mm] 3\,x^3$
[/mm]
Da hat es dann nur ungerade Exponenten, d. h. die Funktion $g$ ist ungerade und deren Schaubild symmetrisch zum Urpsrung. Die Verschiebung ändert nichts an der Symmetrie, also ist der Graph der Funktion $f$ symmetrisch zu dem vorgelegten Punkt.
Und alles ganz ohne Formeln (die man übrigens leicht verdreht)
http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/i.html
Gruß
mathemak
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