symmetrisch
Schule
Funktionen können
- achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse mit x=a oder
- punktsymmetrisch zu einem Punkt P(a|b) sein
Damit die Gerade x=a eine vertikale Symmetrieachse ist, muss gelten:
f(a+x)=f(a-x)
Für eine Punktsymmetrie zum Punkt P(a|b) muss gelten:
f(a+x)+f(a-x)=2*b
Ist die y-Achse x=0 Symmetrieachse oder der Ursprung (0|0) Symmetriepunkt,
vereinfachen sich die obigen Bedingungen zu:
f(-x) = f(x) für Achsensymmetrie zu x=0
f(-x) = -f(x) für Punktsymmetrie zu (0|0)
Beispiele.
1.) Die Funktion  definiert durch  ist ungerade. Es gilt nämlich für alle  :
 .
2.) Die Funktion  ![$ [-3;3] \cap \IZ $](/teximg/5/0/00387205.png "$ [-3;3] \cap \IZ $")  ![$ [-1000;1000] $](/teximg/2/7/00389072.png "$ [-1000;1000] $") definiert durch  ist gerade. Es gilt nämlich für alle ![$ x \in [-3;3] $](/teximg/7/0/00387207.png "$ x \in [-3;3] $") :
 , und damit insbesondere:
 ![$ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $](/teximg/9/0/00387209.png "$ \forall x \in ([-3;3] \cap \IZ) $") .
3.) Die Funktion definiert durch  ist weder gerade noch ungerade.
Es gilt nämlich einerseits:
(etwa weil  ) (d.h.  ist nicht gerade),
und andererseits:
(etwa weil  (d.h. ist nicht ungerade).
4.) Ist  eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle  auch  gilt,
und ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich  ,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist auf die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle :
 . 
5.) Sei eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gelte. Sei ferner  .
Dann gilt:
Ist  eine ungerade Funktion, so gilt  .
Denn:
.
Universität
Beispiele.
1.) Die Funktion definiert durch ist ungerade. Es gilt nämlich für alle :
.
2.) Die Funktion definiert durch ist gerade. Es gilt nämlich für alle :
, und damit insbesondere:
.
3.) Die Funktion definiert durch ist weder gerade noch ungerade.
Es gilt nämlich einerseits:
(etwa weil ) (d.h. ist nicht gerade),
und andererseits:
(etwa weil (d.h. ist nicht ungerade).
4.) Ist eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gilt,
und ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich ,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist auf die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle :
.
5.) Sei eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gelte. Sei ferner .
Dann gilt:
Ist eine ungerade Funktion, so gilt .
Denn:
.
Universität
Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion) bzw.
Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Funktion) einer reellwertigen Funktion
Sei  eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gelte.
Sei eine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich .
Die Funktion heißt:
- punktsymmetrisch zum Ursprung (oder ungerade) (auf ), falls für alle die Gleichung  gilt
- achsensymmetrisch zur  -Achse (oder gerade) (auf ), falls für alle die Gleichung gilt.
Beispiele.
1.) Die Funktion definiert durch ist ungerade. Es gilt nämlich für alle :
.
2.) Die Funktion definiert durch ist gerade. Es gilt nämlich für alle :
, und damit insbesondere:
.
3.) Die Funktion definiert durch ist weder gerade noch ungerade.
Es gilt nämlich einerseits:
(etwa weil ) (d.h. ist nicht gerade),
und andererseits:
(etwa weil (d.h. ist nicht ungerade).
4.) Ist eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gilt,
und ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich ,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist auf die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle :
.
5.) Sei eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gelte. Sei ferner .
Dann gilt:
Ist eine ungerade Funktion, so gilt .
Denn:
.
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Symmetrie bei Gruppen
symmetrische Gruppen
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