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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Jennifer |
...Folgen. Durch herleitung sind wir auf folgende Gleichung gekommen:
sn= [mm] a1*(1-q^n/1-q)
[/mm]
Nun hat sich uns die Frage gestellt, warum bei [mm] sn-1=a0*(1-q^n+1/1-q)
[/mm]
hoch (n+1) schreibt und nicht n-1.
Wie kann man das mathematisch korrekt herleiten?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Jennifer |
Ich komme mit den Matheeditor nicht klar,deswegen habe ich es jetzt mal eingescannt...hier kannst du es sehen http://www.20six.de/pub/Julianastraat1/mathe.jpg
ähm.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Jennifer,
okay, jetzt weiß ich wenigstens, was da stehen soll. Mit deinen Formeln kann ich leider immer noch nicht wirklich etwas anfangen. Ich kann dir aber erklären, wie ich die Formeln (und deren Herleitung) kenne.
Und zwar haben wir eine geometrische Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] gegeben, wobei [mm] $a_0,q \in \IR$ [/mm] fest sind und es gilt:
[mm] $a_{n+1}=q*a_n$.
[/mm]
Dann definiert man:
(I) [mm] $s_n:=a_0+a_1+...+a_n$.
[/mm]
Weil das eine geometrische Reihe ist, gilt ferner:
(II) [mm] $a_n=a_0*q^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
(Das erkennt man induktiv.)
Benutzt man (II) in (I), so erhält man:
(*) [mm] $s_n= a_0+q*a_0+q^2*a_0+...+q^n*a_0$.
[/mm]
Multipliziert man (*) mit q, so erhält man:
(**) [mm] $q*s_n=q*a_0+q^2*a_0+q^3*a_0+....+q^n*a_0+q^{n+1}*a_0$.
[/mm]
(*)-(**) ergibt:
[mm] $s_n(1-q)=a_0-a_0*q^{n+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $s_n=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
So, jetzt muss ich mir mal angucken, wieso meine rechte Seite von mir bei deiner zweiten Formel steht. Das sehe ich momentan nämlich leider noch nicht. Aber vielleicht hilft dir das ganze hier ja schon etwas weiter...
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Jennifer,
dass wenigstens eine deiner Formeln nicht stimmen kann, das zeigt folgende Rechnung. Du hattest ja:
[mm] $s_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}$ [/mm] und
[mm] $s_{n-1}=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
[/mm]
Wenn man nun [mm] $s_n-s_{n-1}$ [/mm] ausrechnet, dann sollte doch als Ergebnis [m]a_n[/m] herauskommen, bzw. [mm] $q^n*a_0$ [/mm] (weil ja [mm] $a_n=q^n*a_0$ [/mm] gilt). Ich habe es mal mit deinen Formeln nachgerechnet (beachte dabei: [m]a_1=q*a_0[/m]):
[mm] $s_n-s_{n-1}=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}-a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
[mm] $=q*a_0*\frac{1-q^n}{1-q}-a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(q*(1-q^n)-(1-q^{n+1}))$
[/mm]
[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(q-q^{n+1}-1+q^{n+1})$
[/mm]
[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(q-1)$
[/mm]
[mm] $=\frac{a_0}{1-q}*(-1)*(1-q)$
[/mm]
[mm] $=-a_0$
[/mm]
PS: Sowieso weiß ich nicht, wie ihr [mm] $s_n$ [/mm] definiert habt. Deine erste Formel:
[mm] $s_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q}$
[/mm]
würde passen, wenn gelten würde:
[mm] $s_n:=a_1+a_2+...+a_n$
[/mm]
Deine zweite Formel:
[mm] $s_{n-1}=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
müsste man etwas (auf der linken Seite) abändern:
[mm] $s_n=a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]
Letztere würde passen, wenn gelten würde:
[mm] $s_n:=a_0+a_1+...+a_n$.
[/mm]
Also, irgendwo stimmt da etwas nicht (glaube ich zumindest)... 
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Jennifer |
Vielen lieben dank für die ausführlichen erläuterungen. ich werde mir das jetzt alles erstmal zu gemüte führen ;).
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http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe