Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 01.12.2007 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | Sind die folgenden Reihen konvergen? Begründen Sie Ihre Antworten.
a) $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+k^2}{k^4} [/mm] $
b) $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3^k} + \frac{1}{k \cdot (k + 1)} \right) [/mm] $
c) $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-1}{k^2+1} [/mm] $ |
Hallo Zusammen!
ich habe hier diese drei Aufgaben und glaube auf dem richtigen Pfad zu sein, bin aber noch sehr unsicher. Wäre für Hilfe sehr dankbar.
zu a) Zuerst das notwendige Kriterium, die Folge muss eine Nullfolge sein:
$ [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{2+k^2}{k^4} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{k^4}+\frac{1}{k^2}}{1} [/mm] = [mm] \frac{0 + 0}{1} [/mm] = 0 $ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dann die Konvergenz der Reihe zeigen (z.z. wogegen diese konvergiert ist nicht notwendig):
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+k^2}{k^4} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^4} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} [/mm] $
Nach dem Quotientenkriterium $ [mm] \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| [/mm] < 1 [mm] \qquad \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $ zeige ich, dass beide Teilsummen konvergieren:
Für $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^4} [/mm] $ :
$ [mm] \frac{\frac{2}{(n+1)^4}}{\frac{2}{n^4}} [/mm] = [mm] \frac{2 \cdot n^4}{(n+1)^4 \cdot 2} [/mm] = [mm] \frac{n^4}{(n+1)^4} [/mm] = [mm] \left| \frac{n^4}{(n+1)^4} \right| [/mm] < 1 [mm] \qquad \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $
Das gleiche für $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} [/mm] $ :
$ [mm] \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \frac{1 \cdot n^2}{(n+1)^2 \cdot 1} [/mm] = [mm] \frac{n^2}{(n+1)^2} [/mm] = [mm] \left| \frac{n^2}{(n+1)^2} \right| [/mm] < 1 [mm] \qquad \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $
Da die beiden Teilfolgen der Reihe konvergieren, konvergiert auch die Reihe selbst!
b) Hier wieder das notwendige Kriterium prüfen, dass es eine Nullfolge ist:
$ [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^k} [/mm] = 0 $ ok
Zweiter Teil siehe: *Beweis zweite Teilfolge
Danach würde ich ähnlich wie bei a) vorgehen: Zwei Teilsummen bilden und einzeln die Konvergenz nachweisen:
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3^k} + \frac{1}{k \cdot (k + 1)} \right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot (k + 1)} [/mm] $
Für $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} [/mm] $ :
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^k [/mm] $ ist eine geometrische Reihe der Form $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} q^k [/mm] $ mit $ q = [mm] \frac{1}{3} [/mm] < 1 $ und somit konvergent. Ist das so ok? Oder muss die Reihe unbedingt mit k=0 anfangen (macht doch keinen Unterschied?)?
Für $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot (k + 1)} [/mm] $ :
siehe Link *Beweis zweite Teilfolge, dort wurde die Konvergenz bewiesen.
Da die beiden Teilfolgen der Reihe konvergieren, konvergiert auch die Reihe selbst!
c) Wieder das notwendige Kriterium:
$ [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{k^2-1}{k^2+1} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{k^2}}{1 + \frac{1}{k^2}} [/mm] = [mm] \frac{1 - 0}{1 + 0} [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0$
Da die Folge nicht gegen 0 konvergiert, ist die Reihe nicht konvergent.
Geht das so?
Danke und viele Grüße,
schnuri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Sa 01.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Das ist eigentlich fast alles richtig.
Diese notwendigen Kriterien brauchst du eigentlich nicht immer so exakt nachzuprüfen.
Aufgabe a und b hätte ich allerdings mit Majorantenkriterium gemacht.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2\bruch{1}{k^4} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}.
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{k^4}<\bruch{1}{k^2} [/mm] und ihr sicherlich schon nachgewiesen habt, dass [mm] \summe\bruch{1}{k^2}<\infty [/mm] ist, so folgt, dass [mm] \summe\bruch{1}{k^4}<\infty.
[/mm]
So wie du es gemacht hast, mit Quotientenkriterium, würde ich das nicht als richtig gelten lassen, weil [mm] \bruch{n^4}{(n+1)^4}\rightarrow1
[/mm]
Es ist zwar kleiner als 1, aber geht gegen 1. Zum Beispiel die Reihe [mm] \summe\bruch{1}{k} [/mm] (harmonische Reihe) ist bekanntlich divergent, aber für diese Reihe gilt ebenfalls mit Quotientenkriterium [mm] \rightarrow1.
[/mm]
Desswegen würde ich das Majorantenkriterium bevorzugen.
Bei b genau so:
[mm] \bruch{1}{k(k+1)}<\bruch{1}{k^2}, [/mm] also ist
[mm] \summe\bruch{1}{k(k+1)}<\summe\bruch{1}{k^2}<\infty.
[/mm]
Den anderen Teil mit [mm] \bruch{1}{3^k} [/mm] hast du vollkommen richtig gemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Sa 01.12.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi Max,
stimmt, $ [mm] \summe\bruch{1}{k^2}<\infty [/mm] $ hatten wir schonmal gezeigt.
An das Majorantenkriterium habe ich auch gedacht, aber scheiterte daran, dass $ [mm] \frac{2}{k^4} \not< \frac{1}{k^2} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] $, habe nicht daran gedacht, dass die 2 aus der Summe raus kann $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{k^4} [/mm] = 2 [mm] \cdot \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^4} [/mm] $, wie doof!
Mit dem Quotientenkriterium werde ich in Zukunft vorsichtiger sein, wenn es gegen 1 konvergiert.
Besten Dank für deine Hinweise!!!!
Schönes Wochenende noch,
schnuri
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