Konvergenz einer Reihe + Induk < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
| Aufgabe | Zeigen mittels vollständiger Induktion dass:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
a) Ist die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}=\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] konvergent? Begründen Sie ihre Antwort. |
Hallo liebe Matheraum Community. Als erstes habe ich die vollständige Induktion gemacht und bin wie folgt vorgegangen.
Wir wollen nun die Behauptung:
[mm] B(n):\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
mit Hilfe der vollständigen Induktion zeigen.
1. IA: [mm] B(1):\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{1}{1+1} [/mm] ist offenbar wahr da
[mm] \summe_{k=1}^{n}=\bruch{1}{1(1+1)}=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{1+1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
2. IS: Wir müssen zeigen, dass aus der Ivor.
[mm] B(n):\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
die IBeh.
[mm] B(n+1):\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n+1}{(n+1)+1}
[/mm]
folgt.
Dazu schließen wir:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}=(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)})+\bruch{n+1}{(n+1)*(n+1+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{n+1}{(n+1)*(n+1+1)}
[/mm]
An dieser Stelle müsste ich ja nun diese Addition ausrechnen um am Ende auf [mm] \bruch{n+1}{(n+1)+1} [/mm] damit der Beweis gilt. Aber ich komme nicht drauf. Habe ich in der Aufgabe einen Fehler gemacht?
Zur a)
Ich weiss das die Folge konvergent ist. Sie konvergiert gegen 0 (Rausgefunden durch einsetzen).
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Hallo Tobias!
> Dazu schließen wir:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}=(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)})+\bruch{n+1}{(n+1)*(n+1+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}+\bruch{n+1}{(n+1)*(n+1+1)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es muss hier heißen:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}}+\red{\summe_{k=n+1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{n}{n+1}}+ [/mm] \ [mm] \red{\bruch{1}{(n+1)*(n+2)}} [/mm] \ = \ ...$$
> Zur b)
>
> Ich weiss das die Folge konvergent ist. Sie konvergiert
> gegen 0 (Rausgefunden durch einsetzen).
Du musst hier schon die Konvergenz der gesamten Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}$ [/mm] und nicht nur der Folge [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)}$ [/mm] ermitteln.
Verwende also für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}$ [/mm] den o.g. Ausdruck als Bruch mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
Hallo Roadrunner. Vielen dank der Fehler ist mir auch gerade aufgefallen ...
Aber wenn ich jetzt rechne
[mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)*(n+2)}
[/mm]
Würde ich erst einmal den Linken Bruch erweitern um auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen, also:
[mm] =\bruch{n*(n+2)}{(n+1)*(n+2)}+\bruch{1}{(n+1)*(n+2)}
[/mm]
Nun kann ich das ganze auf einen Bruchstrich schreiben:
[mm] =\bruch{(n*(n+2))+1}{(n+1)*(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{2}+2n+1}{n^{2}+3n+2}
[/mm]
Das einzige was mir jetzt noch einfällt wäre n auszuklammern aber das bringt mich ja auch nicht wirklich weiter
[mm] =\bruch{n*(n+2+\bruch{1}{n})}{n*(n+3+\bruch{2}{n})}
[/mm]
Dann kann ich n wegkürzen:
[mm] =\bruch{n+2+\bruch{1}{n}}{n+3+\bruch{2}{n}}
[/mm]
Was mache ich falsch?
MFG Tobias
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Hallo Tobias!
Im Nenner nicht ausmultiplizieren. Und im Zähler kannst Du eine binomische Formel anwenden mit [mm] $n^2+2n+1 [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^2$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
Noch einmal vielen Dank RoadRunner!!!!!!!!!!! Muss auf jeden Fall nochmal die Binomischen Formeln wiederholen .......
Ich hätte noch eine Frage zu deiner Antwort zur a).
Reicht es wenn ich es so hinnschreibe wie du es notierst hast und ich schreibe für jedes [mm] n\to\infty [/mm] konvergiert die Reihe gegen 0.
Oder muss ich dies noch Nachweisen? Habe gerade etwas zum Majorantenkriterium gelesen oder ist dieses unnötig?
Du hast mir schon extrem geholfen. Vielen dank!
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Hallo Tobias!
Deine Reihe konvergiert nicht gegen $0_$ (was ja auch gar nicht geht, da sie ausschließlich aus positiven Summanden besteht).
Welchen Grenzwert hat denn [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
Ich glaube der Grenzwert ist 1?
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Hallo Tobias!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig! Hast Du das nun ermittelt oder geraten?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
Ich habe es einfach eingesetzt  aber die Frage die mich wurmt ist ob es reicht wenn ich es so schreibe:
Die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*(k+1)}$ [/mm] ist konvergent. Denn:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*(k+1)}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Für [mm] n\to\infty [/mm] konvergiert die Reihe gegen 1. Da der Nenner immer größer ist als der Zähler.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tobias!
Wegen $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} \ = \ \bruch{n}{n+1}$ gilt auch:
$$\summe_{k=1}^{\infty}}\bruch{1}{k*(k+1)} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}$$
Und diesen Bruch $\bruch{n}{n+1}$ formen wir nun etwas um und wenden die  Grenzwertsätze an:
$$\bruch{n}{n+1} \ = \ \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ \stackrel{{n\rightarrow\infty}}{\longrightarrow} \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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