Grenzwertbestimmung von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 05:04 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen:
xn = [mm] 1+2+...+n/n^2
[/mm]
xn = [mm] n+3^n/3+2^n+5*3^n
[/mm]
xn = [mm] n!/n^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich wüsste gerne ob meine Lösungswege für die Bestimmung der obigen Grenzwerte ausreichend sind, es geht mir dabei auch um Notation und Kleinigkeiten, da ich viele Punkte in den Aufgaben brauche. Vielen Dank schonmal, hier meine Lösungen:
1. lim xn = ((1/n)+(2/n)+...+(n/n))/n= ((1/n)+(2/n)+...+(n-2/n)+(n-1/n)+(n/n))/n
=((n/n)+((n-1/n)+1/n)+((n-2/n)+2/n)+...+((n-0.5n/n)+0.5n/n))/n
= Nochmal dasselbe nur die Klammern ausgeschrieben als ((n/n)+(1/n)-(1/n)) usw
=(0.5n+1)/n=0.5*(n/n)+(1/n)=0.5
2. lim xn = lim [mm] (3^n)/(3+2^n+5*3^n) [/mm] + lim [mm] n/(3+2^n+5*3^n)
[/mm]
= Typ [mm] \infty/\infty [/mm] also l'hospital
= lim [mm] (3^n*log(3))/(2^n*log(2)+5*3^n*log(3)) [/mm] + lim 1/ [mm] (2^n*log(2)+5*3^n*log(3))
[/mm]
= lim [mm] log(3)/((2/3)^n*log(2)+log(243)) [/mm] + [mm] 1/(lim2^n*log(2) [/mm] + 5*lim [mm] 3^n [/mm] *log(3))
= [mm] 2^n [/mm] und [mm] 3^n [/mm] sind divergent also fällt der zweite Teil weg. Kann ich das einfach so sagen? In den anderen Aufgaben verwende ich eigentlich nur die Definitionen für 1/n und n/n.
= log(3)/ (lim [mm] (2/3)^n*log(2)+log(243))
[/mm]
Stetigkeit von [mm] (2/3)^n [/mm] bei n = [mm] \infty
[/mm]
= log(3)/((2/3)^(lim n)*log(2)+ log(243))
= log(3)/log(243) = 1/5
3. lim xn = [mm] (1*2*3*...*n)/(n^n)
[/mm]
= 1/n *2/n*3/n*...*n/n < lim 1/n*n/n*n/n*...*n/n = 1/n*(n/n)^(n-1)
=1/n*(1)^(n-1)=1/n=0
lim xn > lim (1/n)^(n-1) *n/n = [mm] 1*(0)^n-1= [/mm] 0
Einschnürungsprinzip --> lim xn = 0
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Hallo Cccya,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
schreibe doch bitte die gegebenen Folgen zunächst so,
dass man sie zweifelsfrei richtig lesen kann. Dazu steht
hier ein guter Formeleditor zur Verfügung, mit dem man
z.B. auch Brüche und Doppelbrüche klar lesbar darstellen
kann.
Andernfalls setze doch wenigstens ausreichend viele und
richtig gesetzte Klammern !
Bis später ...
Al-Chwarizmi
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