Grad der Körpererweiterung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:58 Mi 20.04.2005 | | Autor: | muli |
Also ic hab folgendes zum Gradder Körpererweiterung in meinem skript stehen [K:L] := [mm] dim_{L} [/mm] K
L ist dabei ein Teilkörper von K und
folgende Beispiele
[mm] [\IR [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \infty [/mm]
warum unendlich? wie rechne ich das
[mm] [\IC [/mm] : [mm] \IR] [/mm] = 2
Häh?
warum 2 welche dim berechne ich da?
helft mir
muli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo muli!
> Also ic hab folgendes zum Gradder Körpererweiterung in
> meinem skript stehen [K:L] := [mm]dim_{L}[/mm] K
> L ist dabei ein Teilkörper von K und
> folgende Beispiele
> [mm][\IR[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = [mm]\infty[/mm]
> warum unendlich? wie rechne ich das
Man kann einsehen, dass [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] keine endliche Basis hat, ja noch nicht einmal eine abzählbare, siehe hier.
> [mm][\IC[/mm] : [mm]\IR][/mm] = 2
[mm] $\IC$ [/mm] ist als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] zweidimensional, mit Basis $(1,i)$. Man erhält [mm] $\IC$ [/mm] aus [mm] $\IR$ [/mm] durch Adjunktion der Nullstelle des in [mm] $\IR$ [/mm] irreduziblen Polynoms [mm] $p(X)=X^2+1$ [/mm] (und der Grad davon ist nun einmal gleich $2$).
Es gilt also:
[mm] $\IC \cong \IR(i) \cong \IR[X]/(X^2+1)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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