Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Do 13.01.2005 | | Autor: | mimi94 |
Hallo Ihr!
Ich habe totale Probleme bei dieser Aufgabe:
Beweise oder widerlege: Der [mm] \IQ-Vektorraum \IR [/mm] besitzt eine abzählbare Basis.
Erstmal besteht bei mir die Frage des Verstehens. Da zw. Q-Vektorraum und R keine Beschreibung für R dazw. ist, weiß ich auch nicht was dies jetzt genau bedeutet.
Ist jetzt dieser Q-raum deer Unterraum von R. Ich bin mir da überhaupt nicht sicher.
Dann gibt es noch ein Problem mit der Lösung. Ich weiß nämlich nicht genau was überhaupt eine Basis ist.
Vielleicht könnte mir jemand dabei helfen, weil so bekomme ich den Beweis aufjedenfall nicht hin.
Ich bedanke mich schon mal :).
Ich habe diese Frage auf keinem anderem Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Do 13.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mimi94!
Nur ganz kurz: Was eine Basis ist, solltest du schon wissen. Das ist eigentlich auch gar nicht so schwierig. Da ich das aber in der letzten Zeit schon mal erklärt habe, reicht es glaube ich erstmal, wenn du dir das durchliest und danach kannst du ja weiter fragen. Ich habe jetzt leider auch nicht die Zeit, zu suchen, wo ich das beschrieben habe. Aber vor wenigen Tagen kam eine Frage in der Schul-Linearen Algebra, da hat glaube ich auch jemand was zur Basis erklärt. Und vor etwas längerer Zeit habe ich selbst etwas im Uni-Lineare Algebra-Forum geschrieben. Vielleicht gibt's du oben rechts auf dieser Seite hier einfach mal "Basis" ein und klickst dann auf Suchen, dann müsstest du eigentlich einiges finden und wahrscheinlich auch etwas, das dich weiterhilft.
Wie gesagt, wenn du davon irgenetwas nicht verstehst, kannst du gerne weiterfragen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo mimi94,
> Hallo Ihr!
> Ich habe totale Probleme bei dieser Aufgabe:
>
> Beweise oder widerlege: Der [mm]\IQ-Vektorraum \IR[/mm] besitzt
> eine abzählbare Basis.
>
> Erstmal besteht bei mir die Frage des Verstehens. Da zw.
> Q-Vektorraum und R keine Beschreibung für R dazw. ist, weiß
> ich auch nicht was dies jetzt genau bedeutet.
Du fragst dich, was das bedeutet, dass dort [mm] $\IR$ [/mm] als [m]\IQ[/m]-Vektorraum aufgefasst wird?
Das heißt dann, dass bei der Multiplikation eines Skalares mit einem Vektor dann der Skalar aus [mm] $\IQ$ [/mm] genommen wird.
Nun beachte:
Da [m]\IR[/m] ein Körper ist, erhält man ja sofort, dass [mm] $\IR$ [/mm] ein [mm] $\IR$- [/mm] Vektorraum ist (das Wesentliche: [mm] $\forall \alpha \in \underbrace{\IR}_{Koerper}$,[/mm] [m]\forall x \in \underbrace{\IR}_{Vektorraum} \Rightarrow \alpha*x \in \underbrace{\IR}_{Vektorraum}[/m]).
Aber warum kann man nun [mm] $\IR$ [/mm] auch als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] auffassen?
(Du kannst jetzt auch die Vektorraumaxiome nachrechnen, falls du das willst. Das meiste ist aber eh klar!  )
Das Wesentliche, um dies zu beantworten, ist:
Es gilt:
[m]\forall \alpha \in \underbrace{\IQ}_{Koerper}[/m] und [m]\forall x \in \underbrace{\IR}_{Vektorraum} \Rightarrow \alpha*x \in \underbrace{\IR}_{Vektorraum}[/m]
(Wobei hier (wo [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IQ$-VR [/mm] gemeint ist) die "skalare Multiplikation" [mm] $*\;:\IQ \times \IR \to \IR$ [/mm] als "gewöhnliche Multiplikation zwischen Elementen von [mm] $\IR$" [/mm] aufgefasst werden soll (beachte dabei, dass [mm] $\IQ \subset \IR$ [/mm] gilt und deswegen diese "Auffassung" möglich ist).)
PS: Anstatt z.B.:
[mm] "$\IR$ [/mm] sei ein [mm] $\IQ$-Vektorraum..." [/mm]
sagt man auch:
"Sei [mm] $\IR$ [/mm] ein Vektorraum über (dem Körper) [mm] $\IQ$..."
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nehmen wir mal an [mm] $\IR$ [/mm] hätte eine abzählbare Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] über [mm] $\IQ$.
[/mm]
Jetzt zeigen wir mit dem Cantorschen Diagonalverfahren, dass dann [mm] $\IR$ [/mm] abzählbar sein müsste, was einen Widerspruch darstellt.
Schreibe in die erste Zeile alle [mm] $\lambda [/mm] v$ mit [mm] $\lambda \in \IQ$, [/mm] $v [mm] \in {\cal B}$. [/mm] Dies sind abzählbar viele Elemente.
Schreibe in die zweite Zeile alle [mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in \IQ$, $v_1,v_2 \in {\cal B}$. [/mm] Dies sind abzählbar viele Elemente.
Schreibe in die dritte Zeile alle [mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IQ$, $v_1,v_2,v_3 \in {\cal B}$. [/mm] Dies sind abzählbar viele Elemente.
Usw.
Dadruch erreicht man nach Annahme alle Elemente aus [mm] $\IR$.
[/mm]
Mit dem Diagonalverfahren zeigt man, dass dann [mm] $\IR$ [/mm] abzählbar sein müsste (schau dir dazu den Nachweis noch einmal an, dass [mm] $\IQ$ [/mm] abzählbar ist oder aber den, dass die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist, dort wird genau dieses Diagonalverfahren angewandt).
Da dies einen Widerspruch zur Überabzählbarkeit von [mm] $\IR$ [/mm] darstellt, kann [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] keine abzählbare Basis besitzen.
Liebe Grüße
Julius
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