Fourrierreihe Koeffizienten < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Sa 16.02.2008 | | Autor: | holwo |
| Aufgabe | Fourrierreihe:
Beweisen Sie, dass die [mm]a_{n}[/mm] verschwinden, falls f(x) ungerade ist |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann ich das machen? also ich komme nicht so weit.
[mm]
a_{n} = \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} \rightarrow[/mm]
[mm]
a_{n}\pi =\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx}
= \integral_{-\pi}^{0}{f(x)\cos{x}dx} + \integral_{0}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} =
\integral_{0}^{-\pi}{-f(x)\cos{x}dx} + \integral_{0}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} =
-\integral_{0}^{-\pi}{f(x)\cos{x}dx} + \integral_{0}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} =
[/mm]
Ideal wäre, ich könnte das [mm]-\pi[/mm] im ersten Integral in ein [mm]\pi[/mm] umwandeln :) dann hätte ich [mm]a_{n}=0[/mm].
außerdem habe ich bis jetzt die Tatsache nicht benutzt, dass f(x) ungerade ist. Aber wie schaffe ich [mm]-\pi[/mm] weg?
Vielen Dank!
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Hallo jesus_edu,
> Fourrierreihe:
> Beweisen Sie, dass die [mm]a_{n}[/mm] verschwinden, falls f(x)
> ungerade ist
> Hallo,
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> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie kann ich das machen? also ich komme nicht so weit.
> [mm]
a_{n} = \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} \rightarrow[/mm]
>
> [mm]
a_{n}\pi =\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx}
= \integral_{-\pi}^{0}{f(x)\cos{x}dx} + \integral_{0}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} =
\integral_{0}^{-\pi}{-f(x)\cos{x}dx} + \integral_{0}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} =
-\integral_{0}^{-\pi}{f(x)\cos{x}dx} + \integral_{0}^{\pi}{f(x)\cos{x}dx} =
[/mm]
>
> Ideal wäre, ich könnte das [mm]-\pi[/mm] im ersten Integral in ein
> [mm]\pi[/mm] umwandeln :) dann hätte ich [mm]a_{n}=0[/mm].
> außerdem habe ich bis jetzt die Tatsache nicht benutzt,
> dass f(x) ungerade ist. Aber wie schaffe ich [mm]-\pi[/mm] weg?
Das entscheidende ist, dass [mm]f\left(x\right)[/mm] ungerade ist
Dann gilt laut Mathebank: [mm]f\left(x\right)=-f\left(-x\right)[/mm].
[mm]-\integral_{0}^{-\pi}{f(x)\cos{x}dx}=\integral_{0}^{-\pi}{f(-x)\cos{x}dx}[/mm]
Dann transformiere das rechtstehende Integral:
[mm] u \ = \ -x[/mm]
[mm] du \ = - dx[/mm]
Nach einer kleinen Rechnung steht dann das Ergebnis da.
>
> Vielen Dank!
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Sa 16.02.2008 | | Autor: | holwo |
danke! alles klar, hatte nicht an substitution gedacht :)
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