Fläche zwischen zwei Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche. [mm] f(x)=x^3-x^2+x-1 [/mm] ; [mm] g(x)=4x^2-5x-1 [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Scnittstellen-fuer-Integralrechnung
Kann mir einen kleinschrittig sagen, also SDchritt für Schritt wie ich diese Aufgabe löse? Wäre sehr lieb! LG
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Hallo Katharina,
> Berechne den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f
> und g eingeschlossenen Fläche. [mm]f(x)=x^3-x^2+x-1[/mm] ;
> [mm]g(x)=4x^2-5x-1[/mm]
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Scnittstellen-fuer-Integralrechnung
> Kann mir einen kleinschrittig sagen, also SDchritt für
> Schritt wie ich diese Aufgabe löse? Wäre sehr lieb! LG
Berechne zuerst die Schnittpunkte [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] der beiden Funktionen, das werden deine Integrationsgrenzen.
Dann berechne das Integral der Differenzfunktion $d(x)=f(x)-g(x)$ in den Grenzen [mm] $x_1,x_2$, [/mm] also [mm] $\int\limits_{x_1}^{x_2}{d(x) \ dx}$
[/mm]
LG
schachuzipus
PS: ich sehe gerade, dass es gar 3 Schnittpunkte [mm] $x_1, x_2,x_3$ [/mm] gibt, die Funktionen also 2 Flächenstücke einschließen.
Addiere also beide Flächenstücke [mm] $A=\int\limits_{x_1}^{x_2}{d(x) \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{x_2}^{x_3}{d(x) \ dx}$
[/mm]
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Ok, also ich ahbe es gestern schon ewig lange versucht, aber ich komme einfach nicht auf drei Schnittpunkte, ich weiß nicht wie das gehen soll, wir hatten bislang imer nur zwei Schnittpunkte und wenn ich das zeichnen lasse von "geogebra" dann sehe ich auch nur 2 Punkte und eine Fläche, die allerdings im Plus und Minus bereich des Koordinatensystems liegt.
Jedenfalls komme ich mit der pq-Formel nicht weiter, weil, wenn ich f(x) und g(x) irgendwie so gleichsetze mit 0, dann bekomme ich [mm] x^3-5x^2+6x=0 [/mm] raus und dafür kann ich ja nicht die pq-Formal anwenden...
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Hallo,
[mm] x^{3}-5x^{2}+6x=0 [/mm] sieht doch gut aus, jetzt kannst du x ausklammern
[mm] x(x^{2}-5x+6)=0
[/mm]
jetzt kannst du eine Schnittstelle sofort ablesen, auf [mm] x^{2}-5x+6=0 [/mm] kannst du die p-q-Formel anwenden,
Steffi
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Ok, Danke.
Aber wie kann ich denn die Schnittstelle sofort ablesen?
Und wären die beiden anderen Schnittstellen dann 2 und 3? Oder ist das auch falsch?
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Hallo nochmal,
> Ok, Danke.
> Aber wie kann ich denn die Schnittstelle sofort ablesen?
Na, du hast doch ein Produkt: [mm] $x\cdot{}(x^2-5x+6)$
[/mm]
Wann ist ein Produkt = 0? Wenn (mindestens) einer der Faktoren = 0 ist, also
[mm] $\blue{x}\cdot{}\red{(x^2-5x+6)}=0 [/mm] \ [mm] \gdw \blue{x=0} [/mm] \ [mm] \text{oder} [/mm] \ [mm] \red{x^2-5x+6=0}$, [/mm] also ...
> Und wären die beiden anderen Schnittstellen dann 2 und 3? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Oder ist das auch falsch?
Nein, das ist richtig!
LG
schachuzipus
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Ok, gut, Danke :) !
Also, subtrahiere ich jetzt f(x) - g(x) oder addiere ich das beides, also äh, ja, wie mache ich jetzt genau weiter? Ich weiß, das hat schachuzipus schon am Anfang geschrieben, aber irgendwie verstehe ichs noch nicht.
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Hallo,
du berechnest [mm] |\integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx}| [/mm] + [mm] |\integral_{2}^{3}{f(x)-g(x) dx}|
[/mm]
setze Betragsstriche, so bekommst du keine Probleme mit der "unteren" bzw. "oberen" Funktion
Steffi
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Sind die Betragsstriche die, die du da schon gesetzt hast? Kann ich nicht auch das erste, dass Du da geschrieben hast mit dem Integral von o bis 2 ausrechnen, dann das andere mit dem Integral von 2 bis 3 und dann beide Ergebnisse addieren?
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Hallo nochmal,
> Sind die Betragsstriche die, die du da schon gesetzt hast? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja!
> Kann ich nicht auch das erste, dass Du da geschrieben hast
> mit dem Integral von o bis 2 ausrechnen, dann das andere
> mit dem Integral von 2 bis 3 und dann beide Ergebnisse
> addieren?
Ja, kannst du, das zweite der Integrale liefert allerdings einen negativen Wert.
Also setze dort Betragstriche, ein negativer Flächeninhalt ist ja nicht so besonders sinnvoll.
Rechne einfach beide Integrale mal aus, wenn was Negatives rauskommt, nimm den Betrag, ansonsten lass es so wie es ist 
LG
schachuzipus
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Ok, heißt das, dass ich einfach das Minus wegnehme? Zum beispiel statt, -2, 2 nehme oder statt-12,34 12,34?
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Hallo nochmal,
> Ok, heißt das, dass ich einfach das Minus wegnehme? Zum
> beispiel statt, -2, 2 nehme oder statt-12,34 12,34?
Ja!
LG
schachuzipus
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Ok :) . Denn noch was *nerv* lol, mein erster Schnittpunkt ist doch 0, mein zweiter 3 und mein dritter 2, oder?
warum nehme ich denn dann für die erste Fläche den Integral von 0 bis 2 und für die zweite von 2 bis 3?
Warum nicht 0 bis 3 und 3 bis 2? Woher weiß man wie man das macht?
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Hallo nochmal,
nun, man integriert von Schnittpunkt zu Schnittpunkt und 2 kommt vor 3
Schau's dir auf der x-Achse mal an, skizziere dir mal die Graphen der beiden Funktionen oder lass sie dir plotten, z.B. mit dem ganz wunderbaren Programm ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot
Also:
1.Integral: von 0 bis 2
2.Integral: von 2 bis 3
LG
schachuzipus
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Ok, gut.
Ich habe jetzt mal das erste Integral ausgerechnet, also das von 0 bis 2 und ich habe 2 2 Drittel raus. Also 2/2/3, ich weiß nicht wie man das hier schreibt... naja, also ich wollte mal fragen, ob das richtig ist? Wahrscheinlich nicht...
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Hallo HilaryAnn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ok, gut.
> Ich habe jetzt mal das erste Integral ausgerechnet, also
> das von 0 bis 2 und ich habe 2 2 Drittel raus. Also 2/2/3,
> ich weiß nicht wie man das hier schreibt... naja, also ich
> wollte mal fragen, ob das richtig ist? Wahrscheinlich
> nicht...
Das ist sogar ganz richtig.
Das schreibt man dann mit unserem Formeleditor so:
[mm]\integral_{0}^{2}{f\left(x\right)-g\left(x\right) \ dx}=2 \bruch{2}{3}=\bruch{8}{3}[/mm]
Gruß
MathePower
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Wow, wirklich? Oh mann... :) Danke!!!
Und ist dann die Lösung des zweiten Integrals, also von 2 bis 3, vielleicht 5 Zwölftel? 5/12 , also eigentlich -5/12, aber dass soll man ja wegnehmen....
Also, ist 5/12 richtig?
Und rechne ich dann jetzt nur noch 2/2/3+5/12 und das ist dann die eingeschlossene Fläche?
LG
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Hallo Katharina,
> Wow, wirklich? Oh mann... :) Danke!!!
> Und ist dann die Lösung des zweiten Integrals, also von 2
> bis 3, vielleicht 5 Zwölftel? 5/12 , also eigentlich -5/12,
> aber dass soll man ja wegnehmen....
> Also, ist 5/12 richtig?
Tippe es so ein: \bruch{5}{12}, das ergibt das schön leserliche [mm] $\bruch{5}{12}$
[/mm]
> Und rechne ich dann jetzt nur noch 2/2/3+5/12 und das ist
> dann die eingeschlossene Fläche?
rrrrrrrrichtig!
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 So 05.10.2008 | | Autor: | HilaryAnn |
Also, ich will ja wirklich nicht bezweifeln, dass Ihr nicht Recht habt! Aber, dass ist halt das erste Mal, dass ich das hier ausprobiere, und wenn das Montag wirklich stimmt, also wenn mein Mathelehrer das auch raus hat, dann danke ich Euch seeeeeeehr und bin von mir wirklich, da ich in Mathe eine Niete bin, beeindruckt lol. Also, Mann ich kanns noch gar nicht glauben :) .
Aber trotzdem schonmal Danke an Euch alle! Das ist wirklich super nett von Euch, dass Ihr das mit mir durchgekaut habt ;) !!!!
LG HilaryAnn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mo 06.10.2008 | | Autor: | HilaryAnn |
Hey!
Also, heute habe ich mich ja schon den ganzen Tag auf Mathe gefreut und dann auch gleich meine Antwort zu obiger Aufgabe gesagt und ein paar andere hatten dieselbe oder eine andere Antwort, aber meine bzw. eure war die richtige!! Mein Lehrer hat mich gefragt, ob ich das alleine gemacht habe und ich habe dann gesagt ja, aber mit Hilfe von einem Forum ja. Aber ich konnte mich dann die ganze Zeit beteiligen, dass war so super!!
Deswegen wollte ich mich jetzt nochmal ganz doll bedanken, dass hat mir wirklich viel gebracht!! Und hat mich richtig froh gemacht!
DANKE Euch allen!!
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Hi,
vielleicht ist es so einfacher für Dich:
$ A = [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x) - g(x)) dx} [/mm] + [mm] \integral_{b}^{c}{(f(x) - g(x)) dx} [/mm] $
Da du 3 Schnittpunkte hast, addierst du die Teilflächen miteinander (anders ausgedrückt, 2 Integrale damit auch alle 3 Grenzpunkte/Schnittpunkte Verwendung finden)
So wie es schachuzipus und Steffi21 ja schon notiert haben.
Vielleicht konnte ich dir das ja so näher bringen. Hoffe doch 
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