Differentialgleichung 2.Ordnun < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen sie die Differentialgleichung:
y``-y`-2y=cos(x)+3*sin(x)
Anfangsbedingungen: y(0)=1 ; y`(0)=1 |
So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:
Homogene Lösung: [mm] k^2-k-2=0
[/mm]
[mm] k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}}
[/mm]
[mm] k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}}*i
[/mm]
Fall 3:
[mm] yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x}))
[/mm]
Lösung der inhomogenen nach tabelle:
Für cos(x):
yp=A*sin(x)+B*cos(x)
yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
Einsetzen wird zu:
sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)
Koeffizientenvergleich:
sin(x): -3A+B=0 (1)
cos(x):-A-3B=1 (2)
=>10B=-3=> B=-0,3
Einsetzen ins die (1)
Ergibt für A=-0,1
[mm] yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x)
[/mm]
Jetzt für 3*sin(x):
Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:
sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)
Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1
so ist:
[mm] yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)
[/mm]
yallg.:
[mm] yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x}))-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)
[/mm]
Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen sie die Differentialgleichung:
> y''-y'-2y=cos(x)+3*sin(x)
> Anfangsbedingungen: y(0)=1 ; y'(0)=1
> So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:
>
> Homogene Lösung: [mm]k^2-k-2=0[/mm]
>
> [mm]k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}}[/mm]
>
> [mm]k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}}*i[/mm]
Was hast Du da gerechnet ? Übe nochmal die pq-Formel.
Die Gleichung [mm]k^2-k-2=0[/mm] hat die Lösungen [mm] k_1=2 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] = -1
FRED
>
> Fall 3:
>
> [mm]yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x}))[/mm]
>
> Lösung der inhomogenen nach tabelle:
> Für cos(x):
> yp=A*sin(x)+B*cos(x)
> yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
> yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
> Einsetzen wird zu:
> sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)
>
> Koeffizientenvergleich:
> sin(x): -3A+B=0 (1)
> cos(x):-A-3B=1 (2)
>
> =>10B=-3=> B=-0,3
>
> Einsetzen ins die (1)
>
> Ergibt für A=-0,1
>
> [mm]yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x)[/mm]
>
>
> Jetzt für 3*sin(x):
> Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:
>
> sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)
>
> Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
> Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1
>
> so ist:
> [mm]yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>
> yallg.:
>
> [mm]yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x}))-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>
>
>
> Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann
> wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder
> keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen
> machen?
>
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stimmt mein fehler: dann ist [mm] yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-1x} [/mm] ok. aber der teil von der störfunktion sieht ja gleich aus:
So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:
Lösung der inhomogenen nach tabelle:
Für cos(x):
yp=A*sin(x)+B*cos(x)
yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
Einsetzen wird zu:
sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)
Koeffizientenvergleich:
sin(x): -3A+B=0 (1)
cos(x):-A-3B=1 (2)
=>10B=-3=> B=-0,3
Einsetzen ins die (1)
Ergibt für A=-0,1
[mm] yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x)
[/mm]
Jetzt für 3*sin(x):
Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:
sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)
Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1
so ist:
[mm] yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)
[/mm]
yallg.:
[mm] yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-2x}-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)
[/mm]
Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen machen?
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> stimmt mein fehler: dann ist [mm]yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}[/mm] ok.
> aber der teil von der störfunktion sieht ja gleich aus:
> So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:
>
>
>
> Lösung der inhomogenen nach tabelle:
> Für cos(x):
> yp=A*sin(x)+B*cos(x)
> yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
> yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
> Einsetzen wird zu:
> sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)
>
> Koeffizientenvergleich:
> sin(x): -3A+B=0 (1)
> cos(x):-A-3B=1 (2)
>
> =>10B=-3=> B=-0,3
>
> Einsetzen ins die (1)
>
> Ergibt für A=-0,1
>
> [mm]yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x)[/mm]
>
>
> Jetzt für 3*sin(x):
> Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:
>
> sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)
>
> Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
> Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1
>
> so ist:
> [mm]yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>
> yallg.:
>
> [mm]yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-2x}-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>
du hast ein störglied: cos(x)+3*sin(x), da brauchst du nur den ansatz:
A*sin(x)+B*cos(x).
am ende wirst du raus finden, dass davon ein koeffizient 0 wird. melde dich zurück wenn du soweit bist
>
>
> Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann
> wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder
> keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen
> machen?
>
die anfangsbedingungen setzt man einmal in deine gesamtlösung ein, und einmal in die ableitung der gesamtlösung. es entstehen dann 2 gleichungen mit 2 unbekannten, die es zu lösen gilt.
dein störglied ist ja von der form: a*sin(x)+b*cos(x) und ist somit nicht in der homogenen lösung enthalten, somit keine resonanz
gruß tee
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meine lösung zu den anfangswertbedingungen sehn wie folg aus:
y-allg.: [mm] C1*e^{2x}+C2*{-1x}-1,2*sin(x)
[/mm]
zu y(0)=1
= C1+C2=1 (1)
y'allg.: [mm] 2*C1*e^{2x}-1*C2*{-1x}-1,2*cos(x)
[/mm]
=2*C1-C2=2,2 (2)
(2)+(1)
=3*C1=3,2
[mm] C1=\bruch{3,2}{3} [/mm] //eingesetzt in (2) ergibt für [mm] C2=-\bruch{0,2}{3}
[/mm]
is das richtig?
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> meine lösung zu den anfangswertbedingungen sehn wie folg
> aus:
> y-allg.: [mm]C1*e^{2x}+C2*{-1x}-1,2*sin(x)[/mm]
> zu y(0)=1
> = C1+C2=1 (1)
>
>
> y'allg.: [mm]2*C1*e^{2x}-1*C2*{-1x}-1,2*cos(x)[/mm]
>
> =2*C1-C2=2,2 (2)
>
>
> (2)+(1)
> =3*C1=3,2
> [mm]C1=\bruch{3,2}{3}[/mm] //eingesetzt in (2) ergibt für
> [mm]C2=-\bruch{0,2}{3}[/mm]
>
>
>
> is das richtig?
ich habe doch schon gesagt, dass es falsch ist, weil du das störglied falsch behandelt hast
edit: du hast es nicht unbedingt falsch behandelt, sondern unnötig kompliziert, und bei der bestimmung der koeffizienten vom sinus (dein 2. "fall") ist wohl was schiefgelaufen
gruß tee
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dann sieht meinen allg. lösung so aus:
[mm] C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}-sin(x)
[/mm]
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> dann sieht meinen allg. lösung so aus:
> [mm]C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}-sin(x)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") nun kannst du mit den AWPs anfangen
gruß tee
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jupp. dann ist C1=1 und C2=0 somit ist meine spezielle Lösung:
[mm] 1*e^{2x}+0*e^{-1x}-sin(x)
[/mm]
= [mm] 1*e^{2x}-sin(x)
[/mm]
das is jetzt richtig oder?
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> jupp. dann ist C1=1 und C2=0 somit ist meine spezielle
> Lösung:
>
> [mm]1*e^{2x}+0*e^{-1x}-sin(x)[/mm]
>
> = [mm]1*e^{2x}-sin(x)[/mm]
>
> das is jetzt richtig oder?
jetzt passts!
gruß tee
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danke danke für die hilfe. und wodran erkenn ich nun ob resonanz oder keine vorliegt. an einem beispiel wäre das sehr klasse. danke schonmal
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> danke danke für die hilfe. und wodran erkenn ich nun ob
> resonanz oder keine vorliegt. an einem beispiel wäre das
> sehr klasse. danke schonmal
wenn deine obige funktion statt dem störglied 3sin(x)+cos(x)
den term [mm] 4*e^{2x} [/mm] hättest; denn dafür bräuchtest du dann ja den ansatz
[mm] A*e^{2*x}
[/mm]
und dann solltest du merken, dass dieser term schon in deiner homogenen lösung $ [mm] yh=C1\cdot{}e^{2x}+C2\cdot{}e^{-1x} [/mm] $ auftritt. nun musst du den ansatz mit x multiplizieren,
also dann [mm] A*x*e^{2*x}. [/mm] diesen ansatz kannst du dann nun 2 mal differentieren und in die dgl einsetzen, und einen koeffizienten-vergleich machen!
es kann durchaus auch vorkommen, dass nach dem multiplizieren mit x immer noch resonanz vorliegt. in diesem fall erneut mit x multiplizieren, bis der ansatz nicht mehr in der homogenen lösung vorkommt
gruß tee
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| Aufgabe | | [mm] y´´-4y´+3y=e^{2x}*sin(x) [/mm] Bestimmen sie die partikuläre Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0 besitzt. |
Folgendes hab ich gemacht:
[mm] k^2-4k+3
[/mm]
k1=3 ; k2=2
[mm] yh=C1*e^{3x}+C2*e^{2x}
[/mm]
Lösen der Inhomogenen:
für [mm] e^{2x}
[/mm]
yp= [mm] Ax*e^{2x} [/mm] ==>> c ist einfache Lösung!
[mm] yp´=(A+2Ax)*e^{2x}
[/mm]
[mm] yp´´=(4Ax+4A)*e^{2x}
[/mm]
Einsetzen:
[mm] (4Ax+4A)*e^{2x}-4*(A+2Ax)*e^{2x}+3*Ax*e^{2x}=e^{2x}
[/mm]
[mm] -1Ax*e^{2x}=e^{2x}
[/mm]
Ax=-1
[mm] yp^{1}=-e^{2x}
[/mm]
Für sin(x):
[mm] A=-\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] yp^{2}=-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x)
[/mm]
damit ist [mm] y^{allg.}: C1*e^{3x}+C2*e^{2x}-e^{2x}-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x)
[/mm]
ist das bei der aufgabe so richtig? und wie bestimm ich die partikuläre Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0 besitzt??
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Hallo haxenpeter,
> [mm]y´´-4y´+3y=e^{2x}*sin(x)[/mm] Bestimmen sie die partikuläre
> Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0 besitzt.
> Folgendes hab ich gemacht:
> [mm]k^2-4k+3[/mm]
>
> k1=3 ; k2=2
>
Der Wert für k2 stimmt nicht.
> [mm]yh=C1*e^{3x}+C2*e^{2x}[/mm]
> Lösen der Inhomogenen:
> für [mm]e^{2x}[/mm]
> yp= [mm]Ax*e^{2x}[/mm] ==>> c ist einfache Lösung!
> [mm]yp´=(A+2Ax)*e^{2x}[/mm]
> [mm]yp´´=(4Ax+4A)*e^{2x}[/mm]
Die Störfunktion (der Teil ohne y) lautet doch
[mm]e^{2x}*\sin\left(x\right)[/mm]
Daher lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]y_{p}=e^{2x}*\left( \ A*\sin\left(x\right)+B*\cos\left(x\right) \ \right)[/mm]
>
> Einsetzen:
> [mm](4Ax+4A)*e^{2x}-4*(A+2Ax)*e^{2x}+3*Ax*e^{2x}=e^{2x}[/mm]
> [mm]-1Ax*e^{2x}=e^{2x}[/mm]
> Ax=-1
>
> [mm]yp^{1}=-e^{2x}[/mm]
>
> Für sin(x):
>
> [mm]A=-\bruch{1}{8}[/mm]
> [mm]B=\bruch{1}{8}[/mm]
>
>
> [mm]yp^{2}=-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x)[/mm]
>
> damit ist [mm]y^{allg.}: C1*e^{3x}+C2*e^{2x}-e^{2x}-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x)[/mm]
>
> ist das bei der aufgabe so richtig? und wie bestimm ich die
> partikuläre Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0
> besitzt??
Nun, das heisst ja [mm]y\left(0)=0, \ y'\left(0\right)=0[/mm]
Aus diesen Bedingungen erhältst Du dann die fehlenden Konstanten.
Gruss
MathePower
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stimmt. k2=1
Ist denn die ableitung richtig oder mach ich die anders?
[mm] yp=e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))
[/mm]
[mm] yp'=2*e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))
[/mm]
[mm] yp´´=4e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))
[/mm]
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Hallo haxenpeter,
> stimmt. k2=1
>
> Ist denn die ableitung richtig oder mach ich die anders?
>
> [mm]yp=e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))[/mm]
> [mm]yp'=2*e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))[/mm]
> [mm]yp´´=4e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))[/mm]
Die Ableitung eines Produktes ist nicht das
Produkt der Ableitungen der einzelnen Faktoren.
Die Ableitung geschieht hier nach der Produktregel.
Gruss
MathePower
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ok aber dann bekomm ich sehr lange therme.
[mm] yp^'=2*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))
[/mm]
[mm] yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)-B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))
[/mm]
kann ich das dann auch zusammenfassen? und wie funktioniett das dann wenn ich es in die gleichung einsetze?
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> ok aber dann bekomm ich sehr lange therme.
>
> [mm]yp^'=2*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))[/mm]
>
> [mm]yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)-B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))[/mm]
>
die 2. ableitung sieht nicht so ganz gelungen aus
>
> kann ich das dann auch zusammenfassen? und wie funktioniett
> das dann wenn ich es in die gleichung einsetze?
wie das immer abläuft
gleichungen in die dgl einsetzen und koeffizientenvergleich
gruß tee
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[mm] yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))
[/mm]
so is es aber richtig oder?
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>
> [mm]yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))[/mm]
>
> so is es aber richtig oder?
die mittleren beiden kann man noch zusammen addieren, da identisch
gruß tee
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ja aber ich kann es ja auch so stehn lassen. dann setz ich in die gleichung ein. und kann das ja weiter zusammenfassen und komm dann auf:
[mm] -1*e^{2x}-2e^{2x}*(-3*A*cos(x)+3*B*sin(x))= e^{2x}*sin(x) [/mm] wie geh ich jetzt weiter vor? steh dagerade echt auf dem schlauch.
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> ja aber ich kann es ja auch so stehn lassen. dann setz ich
> in die gleichung ein. und kann das ja weiter zusammenfassen
> und komm dann auf:
>
> [mm]-1*e^{2x}-2e^{2x}*(-3*A*cos(x)+3*B*sin(x))= e^{2x}*sin(x)[/mm]
> wie geh ich jetzt weiter vor? steh dagerade echt auf dem
> schlauch.
>
ich krieg nach dem zusammenfassen was anderes raus:
[mm] $$-2\,{e}^{2\,x}\,cos\left( x\right) \,B-2\,{e}^{2\,x}\,sin\left( x\right) \,A$$
[/mm]
dass soll dann gleich dem restglied sein. danach folgt ein koeffizientenvergleich für [mm] e^{2x}*sin(x)
[/mm]
zwischenergebnis: A=-1/2
gruß tee
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kannst du mir das vielleicht mal ausfühlich hinschreiben wie du darauf kommst, ich krieg das nicht hin.
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> kannst du mir das vielleicht mal ausfühlich hinschreiben
> wie du darauf kommst, ich krieg das nicht hin.
die gegebene dgl: $ [mm] y''-4y'+3y=e^{2x}\cdot{}sin(x) [/mm] $
dein ansatz vom störglied:
[mm] $$y_p={e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) [/mm] $$
[mm] $$y'_p={e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +2\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) [/mm] $$
[mm] $$y''_p=4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) +{e}^{2\,x}\,\left( -cos\left( x\right) \,B-sin\left( x\right) \,A\right) [/mm] $$
das nun in die dgl einsetzen:
[mm] y''_p-4*y'_p+3*y=e^{2x}*sin(x)=
[/mm]
[mm] 4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) +{e}^{2\,x}\,\left( -cos\left( x\right) \,B-sin\left( x\right) \,A\right)
[/mm]
[mm] -4*[{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +2\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right)]
[/mm]
[mm] +3*{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right)=e^{2x}*sin(x)
[/mm]
zusammenfassen:
[mm] -2\,{e}^{2\,x}\,cos\left( x\right) \,B-2\,{e}^{2\,x}\,sin\left( x\right) \,A=e^{2x}*sin(x)
[/mm]
gruß tee
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endweder bin ich echt zu blöd oder ich weiß auch nicht. wenn ich alles wegkürze, also zusammenrechen krieg ich raus:
[mm] -e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A+e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A)
[/mm]
ich glaub ich bin zu blöde..
dazu wäre es super wenn du mir die ganze aufgabe ausrechnen könntest. brauch sie zur übung
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> endweder bin ich echt zu blöd oder ich weiß auch nicht.
> wenn ich alles wegkürze, also zusammenrechen krieg ich
> raus:
>
> [mm]-e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A+e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A)[/mm]
>
>
> ich glaub ich bin zu blöde..
>
> dazu wäre es super wenn du mir die ganze aufgabe
> ausrechnen könntest. brauch sie zur übung
disabled
die lösung am ende (inkl. awp) ist [mm] $$y=-\frac{{e}^{2\,x}\,sin\left( x\right) }{2}+\frac{{e}^{3\,x}}{4}-\frac{{e}^{x}}{4}$$
[/mm]
gruß tee
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hi,wie kommst du denn auf die lösung? wenn [mm] A=-\bruch{1}{2}
[/mm]
ist dann das B=2 ?
dann hab ich [mm] y^{allg}=C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x))
[/mm]
daraus
ergibt sich wenn ich das =0 setze C1+C2=-2
Abgeleitet ist das: [mm] 3*C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+2*e^{2x}*(-2*sin(x)-\bruch{1}{2}*cos(x))
[/mm]
daraus bekomm ich dann [mm] C1=\bruch{3}{2}
[/mm]
und [mm] C2=-\bruch{7}{2}
[/mm]
dann sieht mein
[mm] y^{spezial} [/mm] so aus:
[mm] \bruch{3}{2}*e^{3x}-\bruch{7}{2}*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x))
[/mm]
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> hi,wie kommst du denn auf die lösung? wenn
> [mm]A=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ist dann das B=2 ?
> dann hab ich
> [mm]y^{allg}=C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x))[/mm]
> daraus
> ergibt sich wenn ich das =0 setze C1+C2=-2
>
> Abgeleitet ist das:
> [mm]3*C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+2*e^{2x}*(-2*sin(x)-\bruch{1}{2}*cos(x))[/mm]
>
> daraus bekomm ich dann [mm]C1=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> und [mm]C2=-\bruch{7}{2}[/mm]
>
>
> dann sieht mein
> [mm]y^{spezial}[/mm] so aus:
>
> [mm]\bruch{3}{2}*e^{3x}-\bruch{7}{2}*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x))[/mm]
>
das b ist 0
gruß tee
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ist b =0 weil es sich schon wegkürzen lässt?
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Hallo haxenpeter,
> ist b =0 weil es sich schon wegkürzen lässt?
Nein.
Das b ist 0, weil der Ausdruck [mm]e^{2x}*\cos\left(x\right)[/mm]
auf der rechten Seite der DGL nicht auftaucht.
Gruss
MathePower
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also ich bin echt zu blöd, also wenn einer Zeit hat könnte er mit bitte das zusammenfassen ganz ausführlich zeigen, das wäre wirklich super.
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> also ich bin echt zu blöd, also wenn einer Zeit hat
> könnte er mit bitte das zusammenfassen ganz ausführlich
> zeigen, das wäre wirklich super.
du weisst doch, dass du nur nach vorkommen von [mm] e^{2x}*sin(x) [/mm] suchst, nun gehst du von oben nach unten durch deine formeln und schreibst auf wie oft das vorkommt
-4B+4A-A
-4(-B+2A)
+3(A)
=-2A
und das soll =1 sein
gruß tee
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sag mal, wenn in meiner aufgabenstellung steht:...welche im Punkt P(0;2) eine steigung von 1 hat. heißt das dann:
y^'(0)=1 und y^''(2)=1 ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein y'' ist immer durch die Dgl gegeben!
esheisst y(0)=2 und y'(0)=1
Aber das solltest du eigentlich selbst sehen. wie kann ne aussage über die Steigung was mity'' zutun haben?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 08.02.2010 | | Autor: | haxenpeter |
kann es sein das in der lösung doch noch ein fehler ist?
die ableitung von [mm] C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}-1 [/mm] sin(x)
ist doch:
[mm] 2*C1*e^{2x}-C2*e^{-1x}-1 [/mm] cos(x)
oder??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mo 08.02.2010 | | Autor: | haxenpeter |
hat sich schon erledigt. is das selbe ergebnis
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