Definitionsmenge Logarithmus < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Manny |
Ich bin etwas verwirrt was die Definitionsmenge des Logarithmus' eines Quotienten/eines Produkts angeht. Ich würde das Problem gerne anhand eines Quotienten-Beispiels erläutern:
f(x)=ln(g(x)/h(x))=ln(g(x))-ln(h(x))
gesucht ist die Definitionsmenge von f(x). Dass {x | g(x)=0 [mm] \vee [/mm] h(x)=0} nicht dazugehört ist klar.
Lt. einem Buch gilt f. alle x in der Definitionsmenge:
f(x) ist definiert [mm] \gdw [/mm] ln(g(x)/h(x)) existiert [mm] \gdw [/mm] g(x)/h(x) > 0 [mm] \gdw [/mm] g(x)!=0 [mm] \wedge [/mm] sgn(g(x))=sgn(h(x))
Ich jedoch meine:
f(x) ist definiert [mm] \gdw [/mm] ln(g(x)/h(x)) existiert [mm] \gdw [/mm] ln(g(x))-ln(h(x)) existiert [mm] \gdw [/mm] g(x) > 0 [mm] \wedge [/mm] h(x) > 0.
Analoges gilt natürlich für das Produkt. Was ist an meiner Überlegung falsch?
Danke für Eure Unterstützung!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Manny!
> Ich bin etwas verwirrt was die Definitionsmenge des
> Logarithmus' eines Quotienten/eines Produkts angeht. Ich
> würde das Problem gerne anhand eines Quotienten-Beispiels
> erläutern:
>
> f(x)=ln(g(x)/h(x))=ln(g(x))-ln(h(x))
>
> gesucht ist die Definitionsmenge von f(x).
> Dass {x | g(x)=0 [mm] \vee [/mm] h(x)=0} nicht dazugehört ist klar.
>
> Lt. einem Buch gilt f. alle x in der Definitionsmenge:
> f(x) ist definiert [mm]\gdw[/mm] ln(g(x)/h(x)) existiert [mm]\gdw[/mm]
> g(x)/h(x) > 0
Ja, wenn du die Funktion [mm] $f(x)=\ln\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)$ [/mm] betrachtest, dann ist diese Aussage richtig. Deine nächste Überlegung:
> Ich jedoch meine:
> f(x) ist definiert $ [mm] \gdw [/mm] $ ln(g(x)/h(x)) existiert $ [mm] \gdw [/mm] $ ln(g(x))-ln(h(x))
> existiert $ [mm] \gdw [/mm] $ g(x) > 0 $ [mm] \wedge [/mm] $ h(x) > 0.
hat sich ergeben, weil du oben ein Logarithmusgesetz anwenden wolltest. Du wolltest benutzen, dass:
[mm] $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ [/mm] ist. Dabei ist aber Vorsicht geboten. Dieses Logarithmusgesetz darfst du nur anwenden, wenn vorausgesetzt ist, dass sowohl $a > 0$ als auch $b > 0$ gilt (denn andernfalls wäre ja [mm] $\ln(a)$ [/mm] oder [mm] $\ln(b)$ [/mm] nicht definiert).
(Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.net/logarithmen/L02s20.htmEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.)
Beispielsweise gilt ja:
$0=\ln(1)=\ln\left(\frac{-1}{-1}\right)$, aber sinnlos wäre eine Gleichung der Art:
$\ln\left(\frac{-1}{-1}\right)=\ln(-1)-\ln(-1)$, da $\ln(-1)$ gar nicht definiert ist.
Das heißt bei dir nun folgendes:
$f(x)=\ln\left(\frac{g(x)}{h(x)}}\right)$ ist genau dann definiert, wenn [m]\frac{g(x)}{h(x)}>0[/m] gilt.
Z.B. könnte für ein [mm] $x_0$ [/mm] gelten, dass [mm] $g(x_0)=-2$ [/mm] und [mm] $h(x_0)=-1$. [/mm] Dann wäre [mm] $\frac{g(x_0)}{h(x_0)}=2 [/mm] >0$, also wäre:
[mm] $f(x_0)=\ln(2)$, [/mm] also definiert.
Dann könntest du aber für dieses [mm] $x_0$ [/mm] nicht schreiben:
[mm] $f(x_0)=\ln(g(x_0))-\ln(h(x_0))$, [/mm] denn das hieße ja:
[mm] $f(x_0)=\ln(-2)-\ln(-1)$, [/mm] aber weder [mm] $\ln(-1)$ [/mm] noch [mm] $\ln(-2)$ [/mm] sind wohldefinierte Ausdrücke!
Also, bevor man die "Rechenregeln für den Logarithmus" anwendet, sollte man immer prüfen, welche Voraussetzungen da mit einfließen. Ich hoffe, du siehst nun etwas klarer. 
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Manny |
> Du wolltest benutzen, dass:
> [mm]\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)[/mm] ist. Dabei ist
> aber Vorsicht geboten. Dieses Logarithmusgesetz darfst du
> nur anwenden, wenn vorausgesetzt ist, dass sowohl [mm]a > 0[/mm] als
> auch [mm]b > 0[/mm] gilt (denn andernfalls wäre ja [mm]\ln(a)[/mm] oder
> [mm]\ln(b)[/mm] nicht definiert).
Danke für diesen Hinweis! Jetzt sehe ich klar.
MfG,
Manny
PS: Ich hatte zuvor vergeblich versucht, LaTeX-Befehle zu verwenden. Mir war nicht klar, dass es eine Art mm-Umgebung gibt. Danke auch hierfür :).
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