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| Aufgabe 1 | (a)
Die lin. Abb $f:V [mm] \to [/mm] W$ der [mm] \IQ [/mm] - Vektorräume V und W sei bzgl. der Basen [mm] B_1 [/mm] = { [mm] u_1 [/mm] , [mm] u_2 [/mm] } von V und [mm] B_2 [/mm] = { [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] , [mm] v_4 [/mm] } von W durch die Matrix
$ [mm] M^{ B_1 , B_2 }_f [/mm] $ = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -2 & -1 \\ 2 & 0 }
[/mm]
gegeben.
Sei [mm] B_3 [/mm] = { [mm] w_1 [/mm] , [mm] w_2 [/mm] , [mm] w_3 [/mm] , [mm] w_4 [/mm] } eine weitere Basis von W und es gelte:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] 2w_1 [/mm] + [mm] 3w_2 [/mm] + [mm] w_3 [/mm] - [mm] w_4
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + + [mm] w_3
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] = - [mm] 2w_3 [/mm] + [mm] w_4
[/mm]
[mm] v_4 [/mm] = [mm] w_1 [/mm] - [mm] w_2 [/mm] - [mm] w_4
[/mm]
Berechnen Sie die Matrix $ [mm] M^{ B_1 , B_3 }_f [/mm] $ der Koordinatenfunktion zu f bzgl der Basen [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_3. [/mm] |
| Aufgabe 2 | (b)
Sei $ [mm] f_A [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] $ die lin. Abb. mit
x = [mm] \pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \mapsto f_A(x) [/mm] = A [mm] \cdot [/mm] x, wobei
A = [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0\\ 3 & -4 & 1} [/mm] .
Welche Matrix hat die Koordinatenfunktion zu f bzgl der Basis
B = { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] }
von [mm] \IR^3 [/mm] und der Standardbasis B' von [mm] \IR^2. [/mm] |
Hallo Matheraum,
auch von mir noch frohe Ostern.
Das neue Semester hat angefangen und es geht gleich mit Darstellungs- und Transformationsmatrizen weiter.
Die Erklärung hier bei euch, besonders aber ![[]](/images/popup.gif) diese zwei Artikel vom Matheplaneten haben mir, denk ich, doch sehr gut weiter geholfen.
(Ob das wirklich der Fall ist, werdet Ihr/ich gleich sehen)
Zur (a)
In der Vorlesung haben wir gelernt, dass wenn man eine lin. Abb. $ f:V [mm] \to [/mm] W $ gegeben hat, sowie eine Basis [mm] B_{V} [/mm] von V und eine Basis [mm] B_{W} [/mm] von W ,und möchte eine Matrix die uns von [mm] B_{V2} [/mm] nach [mm] B_{W2} [/mm] bringt [mm] (B_{V2} [/mm] , [mm] B_{W2} [/mm] jeweils weitere Basis von V bzw W), man das folgendermaßen tuen kann:
Man transformiert von [mm] B_{V2} [/mm] nach [mm] B_{V} [/mm] , multipliziert mit der Darstellungsmatrix ( hier $ [mm] M^{ B_1 , B_2 }_f [/mm] $ ) und transformiert anschließend von [mm] B_{W} [/mm] nach [mm] B_{W2}.
[/mm]
Unsere Notation: [mm] $T^{B_{W},B_{W2}}$ $\cdot$ $M^{ B_V , B_W }_f$ $\cdot$ $T^{B_{V2},B_{V}}$
[/mm]
So, jetzt habe ich ja nur eine "Anfangsbasis", also habe ich mir die Transformationsmatrix [mm] $T^{B_{V2},B_{V}}$ [/mm] ja schonmal gespart.
Es gilt also nur, die Transformationsbasis [mm] $T^{B_{W},B_{W2}}$ [/mm] (bzw [mm] $T^{B_{B_2},B_{B_3}}$ [/mm] ) zufinden.
Die lautet meiner Meinung nach:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 } [/mm] =: [mm] $T^{B_{B_2},B_{B_3}}$,
[/mm]
deren Spalten die Koeffizienten des obigen Gleichungssystem sind.
Jetzt rechnet man noch [mm] $T^{B_{B_2},B_{B_3}}$ $\cdot$ [/mm] $ [mm] M^{ B_1 , B_2 }_f [/mm] $ und hat die gesuchte Matrix, welche einen von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_3 [/mm] bringt.
(ich habe für $ [mm] M^{ B_1 , B_3 }_f [/mm] $ := [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 0 \\ 5 & 3 \\ -5 & -1 } [/mm] )
Zur (b)
Hier habe ich alle Basisvektoren aus B in [mm] f_A [/mm] eingesetzt und habe diese Bilder als Spalten der gesuchten Matrix interpretiert, also:
[mm] $f\vektor{1 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] = [mm] $\pmat{ -1 & 2 & 0\\ 3 & -4 & 1}$ $\cdot$ $\vektor{1 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}$ [/mm] , [mm] $f\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] = [mm] $\vektor{2 \\ -4 }$ [/mm] und [mm] $f\vektor{2 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] = [mm] $\vektor{-2 \\ 7}$ [/mm]
Also ist [mm] M^{B,B'}_f [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -2\\ -1 & -4 & 7 }
[/mm]
Ich hoffe, ich habe nicht ZU ausführlich geschrieben. Ich will nur, dass man meinen Gedankengang nachvollziehen kann.
Danke für eure Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 27.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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