Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie :
[mm] $$\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2+\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^2$$
[/mm]
Hinweis:
[mm] $$0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(-1)^k$$
[/mm]
für jedes natürliche $n [mm] \ge 1\,.$
[/mm]
(Beachte: [mm] $0^0=1=\sum_{k=0}^0{0 \choose k}(-1)^k\,.$)
[/mm]
[edit]Marcel: Habe Aufgabenstellung eingefügt und den Hinweis ein wenig korrigiert.[end edit] |
Hallo,
ich bin noch neu hier, kenne mich noch nicht so wirklich gut aus und bitte um Nachsicht, falls entwas nicht so laufen sollte, wie Ihr es gewohnt seid.
Ich sitze an dieser Aufgabe schon mehrere Stunden und komme einfach nicht weiter. Ich weiß, was das Cauchy Produkt aussagt und wie man es berechnet, aber irgendwie ist es nicht so trivial, wie die Mathematiker immer sagen, zumindest für mich.
Meine Idee war es, die erste Klammer mit Hilfe des Cauchy Prduktes zu berechnen, dann die zweiten und dann beide miteinander multiplizieren, aber da kommt etwas ganz verrücktes raus bzw. vllt habe ich den Trick dahinter noch nicht entdeckt.
Ich würde mich total freuen, wenn mir jemand helfen würde (leider habe ich noch nicht ganz verstanden, wie man hier "mathematisch" postet und hänge daher ein Bild an :)
Liebe Grüße und vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie mit Hilfe des Cauchy Prdukts den folgenden
> Ausdruck:
> Hallo,
>
> ich bin noch neu hier, kenne mich noch nicht so wirklich
> gut aus und bitte um Nachsicht, falls entwas nicht so
> laufen sollte, wie Ihr es gewohnt seid.
> Ich sitze an dieser Aufgabe schon mehrere Stunden und
> komme einfach nicht weiter. Ich weiß, was das Cauchy
> Produkt aussagt und wie man es berechnet, aber irgendwie
> ist es nicht so trivial, wie die Mathematiker immer sagen,
> zumindest für mich.
> Meine Idee war es, die erste Klammer mit Hilfe des Cauchy
> Prduktes zu berechnen, dann die zweiten und dann beide
> miteinander multiplizieren, aber da kommt etwas ganz
> verrücktes raus bzw. vllt habe ich den Trick dahinter noch
> nicht entdeckt.
>
> Ich würde mich total freuen, wenn mir jemand helfen würde
> (leider habe ich noch nicht ganz verstanden, wie man hier
> "mathematisch" postet und hänge daher ein Bild an :)
>
> Liebe Grüße und vielen Dank.
wie lautet denn überhaupt die Aufgabe?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mi 14.12.2011 | | Autor: | epiphanias |
dauert noch einen Moment, habe es als Anhang hochgeladen und es wird noch überprüft. Sorry !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> dauert noch einen Moment, habe es als Anhang hochgeladen
> und es wird noch überprüft. Sorry !
ich hoffe, es war okay, dass ich den Anhang entfernt habe und den Aufgabentext schnell abgetippt. Es erspart nicht nur eine unnötige Prüfung, ob Du Urheberrechte verletzt (was mir da auch nicht ganz klar war, da Du gescant hast), sondern so ist die Aufgabe auch viel schneller zu lesen, ohne, dass man warten muss, bis das Bild geladen ist.
Generell war das so allerdings in Ordnung, sofern Du weißt bzw. bestätigst, dass Du keine Urheberrechtsverletzung begehst - was auch geprüft wird. Sinnvoller wäre es allerdings, die Aufgabe selbst dann abzuschreiben und dann hochzuladen - dann bist Du da auf der sicheren Seite (glaube ich jedenfalls).
Ansonsten:
Klick' mal in meiner Antwort auf die Formeln, oder nutze den Formeleditor. Im Grunde genommen kannst Du hier wie in Latex mathematische Formeln schreiben. Ansonsten siehe auch
https://matheraum.de/mm
P.S.:
Natürlich auch noch nachträglich ein HERZLICHES WILLKOMMEN IM MR von mir!! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie mit Hilfe des Cauchy Prdukts den folgenden
> Ausdruck:
> [mm]\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2+\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^2[/mm]
>
> Hinweis:
> [mm]0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(-1)^k[/mm]
> für jedes
> natürliche [mm]n \ge 1\,.[/mm]
>
> (Beachte: [mm]0^0=1=\sum_{k=0}^0{0 \choose k}(-1)^k\,.[/mm])
fangen wir mal an:
[mm] $$(I)\;\;\;\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2=\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)*\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}*(-1)^{n-k}\frac{x^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!}$$
[/mm]
[mm] $$=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2(n+1)}\sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)!*(2(n-k)+1)!}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} x^{2n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(2k+1)!*(2(n-k)-1)!}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} [/mm] {2n [mm] \choose 2k+1}\,.$$
[/mm]
Analog berechnest Du
[mm] $$(II)\;\;\;\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose 2k}=1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose 2k}\,.$$
[/mm]
Nun berechne [mm] $(I)+(II)\,,$ [/mm] und beachte dann, dass Du hier
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} [/mm] {2n [mm] \choose 2k+1}+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose 2k}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} [/mm] (-1)*{2n [mm] \choose 2k+1}+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] 2k}$$
den Term wiederfindest, der im Tipp steht. Denn:
Wo findet man da
[mm] $$0=\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k{2n \choose k}\;\;?$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
P.S.:
Was man eigentlich in der Aufgabe macht, ist zu zeigen
[mm] $$(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1\,.$$
[/mm]
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Wow, ich bin begeistert - vielen, vielen Dank für die Hilfe - mein Anfang war scheinbar ga rnicht so falsch, nur leider konnte ich nicht so weit zusammenfassen, wie du es gemacht hat, und dann wurde es eben richtig komplex.
Ich habe aber trotzdem noch ein paar Fragen und hoffe, dass du sie mir beantworten kannst.
erstmal: muss es in deiner letzten Zeile nicht so heißen:
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} [/mm] {2n [mm] \choose 2k+1}+1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose 2k}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}+1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] 2k} $
ich könnte dann die Summe:
[mm] \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] ausklammern und müsste dann "nur noch" zeigen, dass die beiden Summen:
[mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] 2k} und [mm] \sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}
[/mm]
gleich null sind, (hier müsste man dann den Tipp anwenden, wie habe ich leider noch nicht wirklich erkannt.
Meine Idee war es vllt bei der ersten der beiden Summen so zu machen:
[mm] \sum_{k=0}^{2n} [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] k}, dann könnte man den Tip anwenden und die Summe wäre gleich 0.
für die letzte fällt mir leider nichts ein :(.
aber dann wären ja die ganzen Summen gleich 0 und nur noch die 1 würde übrig bleiben, damit hätte ich es dann doch gezeigt? :)
Nochmal vielen, vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Do 15.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wow, ich bin begeistert - vielen, vielen Dank für die
> Hilfe - mein Anfang war scheinbar ga rnicht so falsch, nur
> leider konnte ich nicht so weit zusammenfassen, wie du es
> gemacht hat, und dann wurde es eben richtig komplex.
>
> Ich habe aber trotzdem noch ein paar Fragen und hoffe, dass
> du sie mir beantworten kannst.
>
> erstmal: muss es in deiner letzten Zeile nicht so heißen:
> [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} {2n \choose 2k+1}+1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}+1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}[/mm]
naja, das ist das Ergebnis von [mm] $(I)+(II)\,.$ [/mm] Da tauchen die von mir stehenden Terme natürlich auf. Ich habe extra nicht alles hingeschrieben, damit Du mitdenkst - und wenn Du meiner Formulierung folgst, siehst Du ja, dass die Summen, von denen ich spreche, bei Dir auch auftauchen - nämlich links und rechts vom Summand [mm] $1\,$. [/mm] Und nur noch für diese bleibt was zu zeigen.
> ich könnte dann die Summe:
> [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> ausklammern
Leider nein! Wie willst Du die äußere Summe ausklammern? Entweder drückst Du Dich unklar aus, oder das, was Du machen willst, geht so einfach nicht.
> und müsste dann "nur noch" zeigen, dass die
> beiden Summen:
> [mm]\sum_{k=0}^{n}{2n \choose 2k}[/mm] und [mm]\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}[/mm]
>
> gleich null sind, (hier müsste man dann den Tipp anwenden,
> wie habe ich leider noch nicht wirklich erkannt.
Das wird Dir auch so nicht gelingen, da die beiden Summen einzeln nicht verschwinden - nur die Summe der beiden Summen verschwindet.
Also nochmal:
Diese Terme ("Summanden")
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose [/mm] 2k} $$
siehst Du ja bei Deiner Rechnung (wenn Du [mm] $(I)+(II)\,$ [/mm] rechnest, steht da noch irgendwo ein [mm] $+1\,;$ [/mm] ich nehme an, dass das das ist, was Du oben eigentlich gemeint hast!).
Beide Reihen konvergieren (das sieht man etwa mit dem Quotientenkriterium) (da stehen Reihen der Form [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$), [/mm] also kannst Du sie "zusammenfassen" (so wie [mm] $\sum_n a_n [/mm] + [mm] \sum_n b_n=\sum_n \{a_n+b_n\}$ [/mm] - vielleicht meintest Du oben auch diese Regel, also Du von [mm] $\sum_n \ldots$ [/mm] "ausklammern" gesprochen hast) :
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \underbrace{\left\{(-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k} \right\}}_{=:c_n=c_n(x)}\,.$$
[/mm]
Nun schau' Dir die [mm] $c_n=c_n(x)\,$ [/mm] mal an:
[mm] $$c_n=(-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n [mm] \choose 2k}\,.$$
[/mm]
Dort kannst Du [mm] $(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ [/mm] vorklammern. Danach begründe noch
[mm] $$\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}}_{=:S_1}+\underbrace{\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}_{=:S_2}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n \choose k}$$
[/mm]
(dazu brauchst Du nur das Kommutativgesetz, da für jedes [mm] $n\,$ [/mm] dort endlich viele Summanden stehen - die rechte Seite ist nichts anderes als: erster Summand von [mm] $S_2$+erster [/mm] Summand von [mm] $S_1$+zweiter [/mm] Summand von [mm] $S_2$+zweiter [/mm] Summand von [mm] $S_1$+...).
[/mm]
So, und nun schreibe ich den Tipp extra mal ein wenig anders: Dort steht nämlich
[mm] $$0=(1-1)^m=\sum_{k=0}^m (-1)^k [/mm] {m [mm] \choose [/mm] k}$$
für jedes natürliche $m [mm] \ge 1\,.$
[/mm]
Für $m:=2n$ ist sogar $m [mm] \ge [/mm] 2$ und stets gerade - und dann steht was da? Wenn Du das erkennst, dann siehst Du
[mm] $$c_n=c_n(x)=(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}*0=0\,.$$
[/mm]
Insgesamt siehst Du dann (hoffentlich):
[mm] $$\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2+\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^2=\ldots=1+\sum_{n=1}^\infty c_n(x)=1+\sum_{n=1}^\infty 0=1+0=1\,.$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich habe mich nochmal gründlich mit dem bechäftigt, was du geschrieben hast und soweit auch alles nachvollziehen können bis auf den letzten Schritt.
Kannst du mir vielleicht nocheinmal erklären wie du auf:
$ \sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}}+\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n \choose k} $
kommst?
Ich hatte erst versucht die beiden Terme auf einen Nenner zu bringen und dann auf deine Lösung zu kommen, bis mir aufgefallen ist, dass ich das ja gar nicht darf, weil es einmal die Summe bis n-1 und einmal bis n ist.
Es tut mir Leid, dass ich nocheinmal frage, aber so ganz mit dem ersten Summand + dem ersten der anderen Summe usw. und dann auf die genannten Lösung kommen ist mir noch nicht einleuchtend.
Vielen Dank für die Hilfe/ den Zeitaufwand.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mich nochmal gründlich mit dem bechäftigt, was
> du geschrieben hast und soweit auch alles nachvollziehen
> können bis auf den letzten Schritt.
> Kannst du mir vielleicht nocheinmal erklären wie du auf:
> [mm]\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}}+\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k{2n \choose k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> kommst?
> Ich hatte erst versucht die beiden Terme auf einen Nenner
> zu bringen und dann auf deine Lösung zu kommen, bis mir
> aufgefallen ist, dass ich das ja gar nicht darf, weil es
> einmal die Summe bis n-1 und einmal bis n ist.
> Es tut mir Leid, dass ich nocheinmal frage, aber so ganz
> mit dem ersten Summand + dem ersten der anderen Summe usw.
> und dann auf die genannten Lösung kommen ist mir noch
> nicht einleuchtend.
ja, das ist wichtig, dass Du das verstehst. Am besten sieht man es, wenn man
$$\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}}+\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}$$
mal ausschreibt:
Ich schreibe die Summanden mal in eine Matrix, in die obere Zeile die Summanden der zweiten Summe, in die untere die der ersten:
$$\pmat{\blue{{2n \choose 0}} & {2n \choose 2} & . & . & . &\green{{2n \choose 2n-2}} & {2n \choose 2n}\\ \\ \blue{(-1)*{2n \choose 1}} & (-1)*{2n \choose 3} & . & . & . & \green{(-1)*{2n \choose 2n-1}}& 0} \,.$$
Die Summe der beiden obenstehenden Summen ist ja nichts anderes als
"Summe der Einträge der zweiten Zeile + Summe der Einträge der ersten Zeile", und das ist nichts anderes als die "Summe über alle Matrixeinträge".
Also:
$$\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}}+\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}=\text{'Summe über alle Matrixeinträge'.}$$
Die Matrix kannst Du aber wegen $-1=(-1)^k$ für alle ungeraden $k\,,$ und $1=(-1)^k$ für alle geraden $k\,,$ umschreiben zu
$$\pmat{\blue{(-1)^0{2n \choose 0}} & (-1)^2{2n \choose 2} & . & . & . &\green{(-1)^{2n-2}{2n \choose 2n-2}} & (-1)^{2n}{2n \choose 2n}\\ \\ \blue{(-1)^1*{2n \choose 1}} & (-1)^3*{2n \choose 3} & . & . & . & \green{(-1)^{2n-1}*{2n \choose 2n-1}} & 0} \,.$$
Und jetzt kannst Du auch alle Elemente wie folgt summieren:
Du addierst alle Spalteneinträge von oben nach unten und durchläufst dann natürlich auch die Spalten von links nach rechts:
$$\underbrace{\blue{(-1)^0{2n \choose 0}}+\blue{(-1)^1 {2n \choose 1}}+(-1)^2{2n \choose 2} +(-1)^3{2n \choose 3}+\ldots+\green{(-1)^{2n-2}{2n \choose 2n-2}}+\green{(-1)^{2n-1}{2n \choose 2n-1}}+{2n \choose 2n}}_{\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k{2n \choose k}}\;\;\;(+0)\,.$$
Du siehst also:
Wenn Du
$$S_1:=\sum_{k=0}^{n-1} (-1)\cdot{}{2n \choose 2k+1}\;\;\text{ und }S_2:=\sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}$$
setzt, dann ist
$$\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k{2n \choose k}}$$
nichts anderes als
Erster Summand von $S_2$ (also der Summand für $k=0\,$)+erster Summand von $S_1$ ($\to$ der Summand für $k=0\,$)+zweiter Summand von $S_2$ (also der Summand für $k=1\,$)+zweiter Summand von $S_1$ ($\to$ der Summand für $k=1\,$)+...+vorletzter Summand von $S_2$ (also der Summand für $k=n-1\,$)+$n\,$-ter Summand von $S_1$ (also der Summand für $k=n-1\,$)+letzter Summand von $S_2$ (der Summand für $k=n\,$). Das ist nichts anderes als die Summe über alle Matrixeinträge (der Eintrag in der zweiten Zeile und $(n+1)\,$-ten Spalte ist ja $0\,$),
also
$$=S_2+S_1\,.$$
Gruß,
Marcel
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Dank deiner ausführlichen Erläuterung habe ich es nun endlich verstanden, vielen Dank.
Eine wirklich letzte Frage hätte ich aber dann doch noch.
Warum kann ich bei der Summe
$ [mm] \sum\limits_{k=0}^{2n} (-1)^k{2n \choose k} [/mm] $
nun meinen Hinweis vom Anfang benutzen?
Statt n (im Hinweis "sowohl über der Summe als auch in der Summe") steht hier ja nun über der Summe als auch in der Summe 2n. Ist das dann einfach das gleiche, weil ja beides verändert ist, oder warum darf ich das nun benutzen?
Vielen Dank und liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dank deiner ausführlichen Erläuterung habe ich es nun
> endlich verstanden, vielen Dank.
> Eine wirklich letzte Frage hätte ich aber dann doch
> noch.
> Warum kann ich bei der Summe
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{2n} (-1)^k{2n \choose k}[/mm]
> nun meinen
> Hinweis vom Anfang benutzen?
> Statt n (im Hinweis "sowohl über der Summe als auch in
> der Summe") steht hier ja nun über der Summe als auch in
> der Summe 2n. Ist das dann einfach das gleiche, weil ja
> beides verändert ist, oder warum darf ich das nun
> benutzen?
wenn ich Deine Frage mal umformuliere, dann wäre Deine Frage nichts anderes als diejenige:
"Wenn eine Formel für alle natürliche Zahlen gilt: Warum gilt sie dann auch für alle geraden natürlichen Zahlen?
Naja: Diese Frage erledigt sich eigentlich von selbst, oder? Aber vermutlich siehst Du momentan noch nicht, warum das eigentlich genau Deine Frage ist.
Daher: Ich erinnere:
Ich hatte es in einer anderen Antwort auch schonmal anders geschrieben. Erinnern wir uns:
Der Tipp war ja, dass für jedes natürliche $n [mm] \ge [/mm] 1$ gilt
[mm] $$0=\sum_{k=0}^n (-1)^k*{n \choose k}\,.$$
[/mm]
Jetzt kann ich anstatt [mm] $n\,$ [/mm] auch eine andere Bezeichnung wählen. Ich ändere also gar nichts an dieser Aussage, wenn ich sie umschreibe zu:
Für jedes natürliche $m [mm] \ge [/mm] 1$ gilt
[mm] $$0=\sum_{k=0}^m (-1)^k*{m \choose k}\,.$$
[/mm]
Und jetzt gleich siehst Du vielleicht, wieso ich oben von den geraden natürlichen Zahlen gesprochen habe (bei mir gehört die [mm] $0\,$ [/mm] übrigens NICHT zu der Menge der natürlichen Zahlen). Denn wenn für jedes natürliche $m [mm] \ge [/mm] 1$ gilt
[mm] $$0=\sum_{k=0}^m (-1)^k*{m \choose k}\,,$$
[/mm]
dann kann ich für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] natürlich [mm] $m:=2n\,$ [/mm] setzen (grob gesagt: wenn [mm] $n=1,2,3,4,5,\ldots$ [/mm] durchläuft, dann durchläuft [mm] $m=2,4,6,8,10,\ldots$). [/mm] Also gilt:
Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine natürliche Zahl [mm] $\ge 1\,,$ [/mm] so ist [mm] $m=2n\,$ [/mm] eine gerade natürliche Zahl [mm] $\ge 2\,,$ [/mm] insbesondere ist [mm] $m=2n\,$ [/mm] somit auch eine natürliche Zahl [mm] $\ge 1\,.$ [/mm] Also gilt auch für [mm] $\blue{m=2n}\,$
[/mm]
[mm] $$0=\sum_{k=0}^\blue{m}(-1)^k*{\blue{m} \choose k}=\sum_{k=0}^{\blue{2n}} (-1)^k [/mm] * [mm] {\blue{2n} \choose k}\,.$$
[/mm]
(Im Endeffekt erkennen wir so nichts anderes als:
Wir wissen, dass
[mm] $$0=\sum_{k=0}^m(-1)^k*{m \choose k}$$
[/mm]
für alle natürlichen $m [mm] \ge [/mm] 1$ gilt, und wenn $m [mm] \in \{2,4,6,8,10,\ldots\}\,,$ [/mm] also eine gerade natürliche Zahl [mm] ($\ge [/mm] 2$) ist, wir also [mm] $m=2n\,$ [/mm] mit einem $n [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben können, gilt diese Formel insbesondere für diese [mm] $m\,.$
[/mm]
Also, um das ganze abzukürzen: Wenn eine Formel für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dann gilt sie sicherlich auch für jedes $n [mm] \in M\,,$ [/mm] wenn wir $M [mm] \subseteq \IN$ [/mm] wissen.)
Jetzt klarer?
Gruß,
Marcel
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