Beweis von A_{III} < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 03.11.2008 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | Aufgabe 3.3.
Sei A [mm] \in K^{mxn} [/mm] und [mm] P_{kl} \in K^{mxm} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] k,l [mm] \le [/mm] m) die in der Vorlesung deffinierte Elementarmatrix.
a)
Zeigen sie dass,
[mm] P_{kl}A [/mm] = [mm] A_{III},
[/mm]
wobei [mm] A_{III} [/mm] aus A durch vertauschen der k-ten und l-ten Zeile entsteht.
b)
Zeigen Sie, dass [mm] P_{kl} [/mm] invertierbar ist und
[mm] P_{kl}^{-1} [/mm] = [mm] P_{kl} [/mm] sowie [mm] P_{kl}^T [/mm] = [mm] P_{kl}.
[/mm]
[mm] \pi_{ri} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } r = i \not= K, l \mbox{ oder } r= k, i = l \mbox{ oder } r = l, i = k\\
1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
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Hm ich bin da ein wenig überfragt.
Aber wenn ich mir das so anschaue (Das Hauptproblem liegt bei a)
Bin ich immer am Überlegen was denn das mit dem [mm] A_{III} [/mm] zu bedeuten haben mag.
A ist eine Elmentarmatrix (Einheitsmartix):
[mm] \pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1}
[/mm]
So wie ich das Verstehen soll.
und nun behauptet die Aufgabe das:
[mm] P_{kl}A [/mm] = [mm] A_{III}
[/mm]
gelten soll.
Mir würde da schon ein Ansatz reichen wie man da evt. einen Beweis führen sollte.
LGmichi
Achja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo michime
mach doch einfach mal [mm] P_{23}A [/mm] fuer ne [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix.
Dann siehst du, was von dir verlangt wird und wies laeuft!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 03.11.2008 | | Autor: | michime |
hm,
was meist du mit einer [mm] A_{23}A [/mm] Matrix
Also im spezielen das mit der [mm] A_{23} [/mm] also wie soll mir das vorstellen. Also wenn ich mir das genau vorstelle dann komme ich doch auf ne 2x3 Matrix. aber du sprichstvon einer 3x3....
hm ich bin verwirt.
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> hm,
> was meist du mit einer [mm]A_{23}A[/mm] Matrix
Hallo,
gar nix meint leduart damit: von einer [mm] P_2_3-Matrix [/mm] war die Rede.
> Also im spezielen das mit der [mm]A_{23}[/mm] also wie soll mir das
> vorstellen. Also wenn ich mir das genau vorstelle dann
> komme ich doch auf ne 2x3 Matrix. aber du sprichstvon einer
> 3x3....
Sie schlägt Dir vor, die Sache mal ganz konkret für m=3, k=2, l=3 durchzuspielen, damit Du merkst, wovon die Rede ist.
Für m=3 ist die Matrix [mm] P_2_3 [/mm] eine 3x3-Matrix.
Wie ist denn die Matrix Matrix [mm] P_2_3 [/mm] definiert? Hast Du die Definition parat?
Wenn Du Def. und Matrix hast, nimmst Du die Matrix [mm] P_2_3 [/mm] und multiplizierst sie mit irgendeiner 3xn-Matrix, etwa mit A:= [mm] \pmat{1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\ 11&12&13&14&15}.
[/mm]
(Hier habe ich jetzt n=5) genommen.
Gruß v. Angela
>
> hm ich bin verwirt.
>
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> Aufgabe 3.3.
> Sei A [mm]\in K^{mxn}[/mm] und [mm]P_{kl} \in K^{mxm}[/mm] (1 [mm]\le[/mm] k,l [mm]\le[/mm]
> m) die in der Vorlesung deffinierte Elementarmatrix.
>
> a)
> Zeigen sie dass,
> [mm]P_{kl}A[/mm] = [mm]A_{III},[/mm]
> wobei [mm]A_{III}[/mm] aus A durch vertauschen der k-ten und l-ten
> Zeile entsteht.
>
> b)
> Zeigen Sie, dass [mm]P_{kl}[/mm] invertierbar ist und
> [mm]P_{kl}^{-1}[/mm] = [mm]P_{kl}[/mm] sowie [mm]P_{kl}^T[/mm] = [mm]P_{kl}.[/mm]
>
> [mm]\pi_{ri}[/mm] = [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{falls } r = i \not= K, l \mbox{ oder } r= k, i = l \mbox{ oder } r = l, i = k\\
1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Hm ich bin da ein wenig überfragt.
> Aber wenn ich mir das so anschaue (Das Hauptproblem liegt
> bei a)
> Bin ich immer am Überlegen was denn das mit dem [mm]A_{III}[/mm] zu
> bedeuten haben mag.
> A ist eine Elmentarmatrix (Einheitsmartix):
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, davon ist doch nirgends in der Aufgabe die Rede. A ist lt. Aufgabenstellung irgendeine mxn-Matrix.
Die Bezeichnung [mm] A_{III} [/mm] find' ich zwar auch seltsam, aber was das sein soll, wird ja gesagt: die Matrix, die man bekommt, wenn man bei A die k-te und l-te Spalte vertauscht.
Wahrscheinlich sollte da [mm] A_k_l [/mm] stehen oder sowas.
Wie man' anfangen könnte, habe ich Deinem Kommiltionen dort schon angedeutet.
Gruß v. Angela
> Zeile
> [mm]\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1}[/mm]
> So wie ich das Verstehen soll.
> und nun behauptet die Aufgabe das:
> [mm]P_{kl}A[/mm] = [mm]A_{III}[/mm]
> gelten soll.
> Mir würde da schon ein Ansatz reichen wie man da evt.
> einen Beweis führen sollte.
> LGmichi
>
> Achja:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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