Beweis durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Anubis2k |
| Aufgabe | | [mm] 0\le4n^2-1/n^2+1\le4 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komm nich drauf wie ich dies zeigen soll, hab schon einiges Probiert aber es geht nicht auf. Kann mir jemand helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]0\le4n^2-1/n^2+1\le4[/mm]
ich sage Dir zwar, was eigentlich zu zeigen wäre, aber auch von vorneherein,
dass die zweite Ungleichung absoluter UNSINN ist!!! (Sofern sie für (fast) alle
[mm] $n\,$ [/mm] gelten soll!)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich komm nich drauf wie ich dies zeigen soll, hab schon
> einiges Probiert aber es geht nicht auf. Kann mir jemand
> helfen?
> Danke
Du schreibst es doch selbst: Ein Induktionsbeweis ist (wäre) verlangt.
Dass die Behauptung für [mm] $n=1\,$ [/mm] stimmt, ist offensichtlich (einsetzen!).
Im Induktionsschritt geht/ginge es halt darum, dass, unter der Annahme,
dass diese Aussage für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, also wenn
[mm] $0\le 4n^2-1/n^2+1\le [/mm] 4$
wahr ist, Du dann (damit) zeigst:
Es gelten dann auch
1.) $0 [mm] \le 4(\red{n+1})^2-\frac{1}{(\red{n+1})^2}+1$,
[/mm]
sowie
2.) [mm] $4(\red{n+1})^2-\frac{1}{(\red{n+1})^2}+1 \le [/mm] 4$.
Tipp: Es ist
[mm] $4(\red{n+1})^2-\frac{1}{(\red{n+1})^2}+1=4n^2+8n+4-\frac{1}{(n+1)^2}+1=\blue{\left(4n^2-\frac{1}{n^2}+1\right)}\;+\frac{1}{n^2}+3+8n-\frac{1}{(n+1)^2}$
[/mm]
Wegen [mm] $\frac{1}{n^2}\;\,-\,\frac{1}{(n+1)^2}\;\ge\;0$ [/mm] ist damit 1.) schon offensichtlich. 2.) bekommst Du DAMIT
aber nicht gelöst.
Wenn man sich den Graphen von
[mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^2-\frac{1}{x^2}+1$
[/mm]
anschaut, sieht man auch, dass diese Aussage totaler Quatsch ist, denn
diese Funktion ist ebenso nach oben unbeschränkt, wie es deren Einschränkung
auf [mm] $\IN$ [/mm] ist.
Auch, wenn Du Dich verschrieben hast, und eigentlich
[mm] $4n^2-\frac{1}{n^2+1}$
[/mm]
meinen würdest, solltest Du sehen, dass die ganze Aussage Unsinn ist!
(Es gilt
[mm] $4n^2-\frac{1}{n^2+1}$ $\longrightarrow$ "$4*\infty-0=\infty$".)
[/mm]
Von daher: Prüfe bitte nochmal die Aufgabenstellung!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Sa 04.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]0\le4n^2-1/n^2+1\le4[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich komm nich drauf wie ich dies zeigen soll, hab schon
> einiges Probiert aber es geht nicht auf. Kann mir jemand
> helfen?
> Danke
Ich mache es kürzer als Marcel.
1. Die linke Ungleichung ist richtig, wie man sofort an
[mm] \bruch{1}{n^2} \le [/mm] 1 [mm] \le 4n^2+1
[/mm]
sieht.
2. Für n >1 ist
[mm] 4n^2+1 [/mm] > 4 + [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Somit ist die Ungleichung [mm] 4n^2-1/n^2+1\le [/mm] 4 für jedes n [mm] \ge [/mm] 2 falsch.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Anubis2k |
| Aufgabe | | [mm] 0\le(4n^2-1)/(n^2+1)\le4 [/mm] |
Danke für die schnellen antworten. Also im zähler steht auch die [mm] 4n^2 [/mm] mit drin. deshalb die verwirrung :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]0\le(4n^2-1)/(n^2+1)\le4[/mm]
> Danke für die schnellen antworten. Also im zähler steht
> auch die [mm]4n^2[/mm] mit drin. deshalb die verwirrung :)
dann brauchst Du nicht wirklich einen Induktionsbeweis (kannst Du aber
dennoch mal versuchen). Und zur Ergänzung: Diese Ungleichungskette gilt
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (nicht aber für alle $n [mm] \in \IN_0,\,$ [/mm] denn für [mm] $n=0\,$ [/mm] stünde linkerhand
Unsinn!)
Die linke Ungleichung ($0 [mm] \le [/mm] ...$) sollte (für natürliches [mm] $n\,$) [/mm] klar sein. (Ist sie
das für Dich?)
Die rechte folgt wegen
[mm] $\frac{4n^2-1}{n^2+1}\;\le\;4$
[/mm]
[mm] $\iff$ $4n^2-1 \;\le\; 4n^2+4$
[/mm]
[mm] $\iff$ $-1\; \le\; 4\,,$
[/mm]
denn [mm] $-1\;\le\;4$ [/mm] ist offenbar wahr, und dann lese man die Umformungen von unten
nach oben, unter Beachtung, dass man überall [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] verwenden darf!
Falls Ihr/Du das unbedingt mit einem Induktionsbeweis lösen müsst: Das
SCHEMA findest Du in meiner anderen Antwort, Du musst es nur *analogisieren*
bzgl. Deiner korrigierten Aufgabenstellung. Und ja: Diese Klammern, die Du
nun ergänzt hast, sind unabdingbar!!! Einfacher wäre es vielleicht gewesen,
Du hättest direkt den Formeleditor benützt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Anubis2k |
Danke. Ja es ist Induktionsbeweis erforderlich. Das schema ist mir klar. Sonst komm ich auch mit beweisen klar. Ich muss also bei ketten bei gleichungen einzeln betrachten? Ich schreib den beweis jetzt mal auf. Den formeleditor hab ich wohl übersehen vorhin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke. Ja es ist Induktionsbeweis erforderlich. Das schema
> ist mir klar. Sonst komm ich auch mit beweisen klar. Ich
> muss also bei ketten bei gleichungen einzeln betrachten?
Du meinst, ob Du bei Un(!)gleichungsketten die Un(!)gleichungen einzeln
betrachten MUSST? Müssen nicht, aber ich empfehle das, wenn jemand
Schwierigkeiten hat, einen (Induktions-)Beweis für eine Ungleichungskette
zu *erstellen*.
Und per Definition ist $a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] c$ äquivalent zu:
Es gilt sowohl $a [mm] \le [/mm] b$ als auch $b [mm] \le [/mm] c$, also:
Es gilt $a [mm] \le [/mm] b$ UND $b [mm] \le [/mm] c$.
> Ich schreib den beweis jetzt mal auf. Den formeleditor hab
> ich wohl übersehen vorhin
Okay.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 05.04.2015 | | Autor: | Anubis2k |
| Aufgabe | | [mm] 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\le4 [/mm] |
Mein Lösungsansatz weis aber nich ob das so geht.
[mm]
Induktionsanfang für n=1
0\le\frac{4*1^2-1}{1^2+1}\le4 \Rightarrow 0\le\frac{3}{2}\le4
Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung IV Aussage für n\in\IN wahr
0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\le4
Induktionsbehauptung gilt auch für n+1
0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4
Beweiß
0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4 \Rightarrow nach IV 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1} + \frac{4*1^2-1}{1^2+1}\le4
\Rightarrow 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1} + \frac{3}{2}\le4
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 So 05.04.2015 | | Autor: | hippias |
> [mm]0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\le4[/mm]
> Mein Lösungsansatz weis aber nich ob das so geht.
> [mm]
Induktionsanfang für n=1
0\le\frac{4*1^2-1}{1^2+1}\le4 \Rightarrow 0\le\frac{3}{2}\le4$
In Worten: Aus $0\le\frac{4*1^2-1}{1^2+1}\le4$ folgt $0\le\frac{3}{2}\le4$. Das ist doch wohl nicht das, worum es geht. Zu zeigen ist, dass $\frac{4*1^2-1}{1^2+1}$ sowohl mindestens Null und hoechstens Vier ist. Dies rechnest Du einfach nach: Weil $\frac{4*1^2-1}{1^2+1}= \frac{3}{2}$ ist, gilt $0\leq \frac{4*1^2-1}{1^2+1}\leq 4$.
> Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung IV Aussage für n\in\IN wahr
0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\le4
Induktionsbehauptung gilt auch für n+1
0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4
> Beweiß
Das ist doch kein scharfes s!
> 0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4 \Rightarrow nach IV 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1} + \frac{4*1^2-1}{1^2+1}\le4
Nein, denn die Induktionsvoraussetzung lautet nicht $0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1} + \frac{4*1^2-1}{1^2+1}\leq 4$, sondern nur $0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\leq 4$. Du hast es selber oben richtig aufgeschrieben. Darueber hinaus folgt die IV nicht aus der Aussage $0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4$; vielmehr waeren wir froh, wenn wir umgekehrt dieses aus der IV schlussfolgern koennten! Ordne also Deine Gedanken.
Es sei $0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\le4$ vorausgesetzt. Zeige nun zwei Ungleichungen:
1. $0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}$. Tip: Betrachte die Vorzeichen von Zaehler und Nenner.
2. $\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4$. Tip: $4(n+1)^2-1\leq 4((n+1)^2+1)$
>
\Rightarrow 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1} + \frac{3}{2}\le4
[/mm]
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 05.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\le4[/mm]
> Mein Lösungsansatz weis aber nich ob das so geht.
> [mm]
> Induktionsanfang für n=1
> [mm] 0\le\frac{4*1^2-1}{1^2+1}\le4 \Rightarrow 0\le\frac{3}{2}\le4
[/mm]
> Induktionsschritt
> Induktionsvoraussetzung IV Aussage für [mm] n\in\IN [/mm] wahr
> [mm] 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1}\le4
[/mm]
> Induktionsbehauptung gilt auch für n+1
> [mm] 0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4
[/mm]
> Beweiß
> [mm]0\le\frac{4(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1}\le4 \Rightarrow nach IV 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1} + \frac{4*1^2-1}{1^2+1}\le4
\Rightarrow 0\le\frac{4n^2-1}{n^2+1} + \frac{3}{2}\le4
[/mm]
ehrlich gesagt finde ich diese Aufgabe sehr sehr langweilig, und eines
Induktionsbeweises überdrüssig.
Im Endeffekt bestehen die ganzen Aufgaben nur darin, zu zeigen, dass
[mm] $0\;\le\;4n^2-1$ [/mm] und [mm] $4n^2-1 \;\le\; 4(n^2+1)$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gelten. Und das per Induktion; denn so kann man die Aufgabenstellung
äquivalent umformulieren.
Das würde ich auch machen (vor allem bei der 2en Ungleichung), denn
induktiv aus
[mm] $4n^2-1\;\le\;4(n^2+1)$
[/mm]
dann auch
[mm] $4(n+1)^2-1 \;\le\;4((n+1)^2+1)$
[/mm]
zu folgern, ist nicht schwer:
[mm] $4((n+1)^2+1)=4(n^2+1)+8n+4 \ge 4n^2-1+8n+4$
[/mm]
nach I.V., und damit folgt insgesamt
[mm] $4((n+1)^2+1)=\red{4(n^2+1)}+8n+4\;\ge\; \red{4n^2-1}+8n+4=4(n^2+2n+1)-1=4(n+1)^2-1$
[/mm]
Im Endeffekt läuft aber dennoch alles auf $-1 [mm] \;\le \; [/mm] 4$ hinaus; daher sehe ich in
dieser Aufgabe keinen Sinn eines Induktionsbeweises!
Gruß,
Marcel
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