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Hallo,
Als ich letztens diese Frage beantwortet habe, hat sich mir die Frage gestellt, wie die Automorphismen unendlicher symmetrischer Gruppen aussehen? Gilt [mm] $\operatorname {Aut}\operatorname [/mm] {Sym} [mm] X=\operatorname {Inn}\operatorname [/mm] {Sym} [mm] X\cong\operatorname [/mm] {Sym} X$ immer wenn [mm] $\operatorname [/mm] {card} [mm] X\not=6$? [/mm] Hat jemand eine Referenz?
Aus Gründen der Vollständigkeit noch der Beweis für [mm] $\operatorname {Inn}(S_n)\cong S_n [/mm] $ für $ [mm] n\not=2$. [/mm] Für $ n=0,1,3,4$ kann man es einfach nachrechnen, für größere $ n $ betrachten wir den offensichtlichen surnektivdn Homomorphismus [mm] $S_n \longrightarrow\operatorname {Inn}(S_n) [/mm] $. Dessen Kern ist das Zentrum von $ [mm] S_n [/mm] $ und ist ein Normalteiler, also [mm] $\ker=0, S_n [/mm] $ oder $ [mm] A_n [/mm] $ für $ [mm] n\ge5$. $\operatorname [/mm] {Inn} G $ zyklisch, so ist $ G $ abelsch, also bleibt nur die Wahl [mm] $\ker=0$, [/mm] also ist unser Homomorphismus ein Isomorphismus. Für unendliche symmetrische Gruppen sind die Normalteiler nicht so leicht zu klassifizieren, dort funktioniert der Beweis daher nicht. Ob das Resultat gilt, weiß ich nicht, vermutlich eher nicht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 03.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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