Aut(S_3) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mo 24.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich möchte mir anschauen die Automorphismen auf [mm] S_3.
[/mm]
[mm] Aut(S_3)=\{q :S_3 \rightarrow S_3 | \phi \mbox{bijektiver Homomorphismus }\} [/mm] |
Hallo zusammen,
Laut Vorlesung [mm] S_3=<(12),(13)>
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist außerdem laut schon gezeigten(in anderen Bsp) durch Bilder vom Erzeugnis eindeutig festgelegt.D.h. [mm] \phi [/mm] ist durch [mm] \phi(12), \phi(12) [/mm] festgelegt.
Ein bijektiver Homomorphismus ist insbesondere injektiv, also ordnungserhaltend.
[mm] S_3\{id,(12),(13),(23),(123),(123)^2\}
[/mm]
ord(id)=1, Ordnung der Transposition ist 2, Ordnung der Zyklen 3
Da [mm] \phi [/mm] ordnungserhaltend ist muss [mm] \phi(12) [/mm] sowie [mm] \phi(13) [/mm] auch Ordnung 2 haben. Also ist [mm] \phi(12) \in \{(12),(13),(23)\}, \phi(13) \in \{(12),(13),(23)\}
[/mm]
Mir ist klar dass ich so insgesamt 6 Möglichkeiten habe.
Aber wie zeige ich, dass all diese Möglichkeiten auch wirklich Homomorphismen sind? Das sie bijektiv sind folgt aus meiner Konstruktion. Ich kann das ja nicht händisch für alle Homomorphismen nachprüfen...
LG,
sissi
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Sagen dir innere Automorphismen etwas? Du brauchst ja nur die Existenz eines Automorphismus, der die entsprechenden Werte annimmt. Google "innere Automorphismen" und zeig, dass sie das gewünschte erfüllen. Übrigens gibt es soweit ich weiß das überraschende und nicht ganz triviale Ergebnis, dass außer für $ n=6$ stets alle Automorphismen der $ [mm] S_n [/mm] $ innere Automorphismen sind.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 24.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Achso:
Es gilt allgemein wenn G eine Gruppe ist: Inn(G) [mm] \le [/mm] Aut(G), die inneren sind ja sogar ein Normalteiler der Automorphismengruppe.
Dann gilt [mm] S_n \cong Inn(S_n) \forall n\ge3(hatten [/mm] wir in anderen Bsp)
Zusammenfassend:
[mm] 6=3!=|S_3|=|Inn(S_3)| \le |Aut(S_3)|
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 6 [mm] \le |Aut(S_3)|
[/mm]
Es gibt mindestens 6 Automorphismen.
Nach meinen Überlegungen in Post 1 gibt es maximal 6 Automorphismen.
[mm] \Righarrow |Aut(S_3)|=6
[/mm]
Also ist jeder Automorphismus der [mm] S_3 [/mm] auch ein innerer Automorphismus.
[mm] Aut(S_3) \cong S_3
[/mm]
> Übrigens gibt es soweit ich weiß das überraschende und nicht ganz triviale Ergebnis, dass außer für $ n=6 $ stets alle Automorphismen der $ [mm] S_n [/mm] $ innere Automorphismen sind.
Hast du das Resultat wo zum Nachlesen?
Buch/Link?
LG,
sissi
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Ja so sollte es gehen. Die Aufgaben 39-41 in Kapitel 1 von Lang's Algebra liefern letztendlich die Existenz eines nicht-inneren Automorphismus der $ [mm] S_6$. [/mm] Für die umgekehrte Richtung, dass 6 die einzige Ausnahme bildet, suche ich nachher nochmal nach einer Referenz. Wie es im unendlichen Fall aussieht, weiß ich gerade gar nicht, das würde mich auch mal interessieren.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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