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| Aufgabe | Gegeben ist [m]f(x) = \ln(e^{2x}+1)[/m] auf [m]I := [e^{-1}, e^{2}][/m].
Finden Sie ein [m]n \in \IN[/m], so dass [m]\left| f'(x) \right| \le n[/m] für alle [m]x \in I[/m]. |
Hallo zusammen.
Ich versuche hier mal systematisch ranzugehen...
Gegeben: [m]f[/m] mit [m]f(x) = \ln(e^{2x}+1), \ I := [e^{-1}, e^{2}][/m]
Gesucht: [m]n \in \IN[/m] mit [m]\left| f'(x) \right| \le n[/m] für alle [m]x \in I[/m]
Zunächst bilde ich die erste Ableitung von [m]f[/m]:
[m]f(x) = \ln(e^{2x}+1) \Rightarrow f'(x) = \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}[/m]
Dann führe ich mittels der Dreiecksungleichung eine Abschätzung nach oben durch, es gilt: [m]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1}[/m]
Auf dem Intervall [m]I := [e^{-1}, e^{2}][/m] lässt sich aber m.E. kein [m]n \in \IN[/m] finden, da egal mit welchem x-Wert man in die Funktion reingeht,
es wird stets eine reelle Zahl (Kommazahl) als Funktionswert angenommen.
ABER: Für [m]x=0[/m] würde ein [m]n \in \IN[/m] gefunden werden, nämlich:
[m]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{2 \cdot{} 0}|}{|e^{2 \cdot{} 0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{0}|}{|e^{0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|1|}{|1|+1} \le \bruch{2}{2} = 1 := n[/m], aber [m]0 \not\in I[/m], deswegen gibt es kein [m]n \in \IN[/m] mit [m]\left| f'(x) \right| \le n[/m] für alle [m]x \in I[/m].
Ist das so korrekt?
Danke im voraus für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 25.09.2014 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist [mm]f(x) = \ln(e^{2x}+1)[/mm] auf [mm]I := [/img].
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> Finden Sie ein [mm]n \in \IN[/mm], so dass [mm]\left| f'(x) \right| \le n[/mm]
> für alle [mm]x \in I[/mm].
> Hallo zusammen.
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> Ich versuche hier mal systematisch ranzugehen...
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> Gegeben: [mm]f[/mm] mit [mm]f(x) = [mm] \ln(e^{2x}+1), [/mm] \ I := [/img]
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> Gesucht: [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]\left| f'(x) \right| \le n[/mm] für alle
> [mm]x \in I[/mm]
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> Zunächst bilde ich die erste Ableitung von [mm]f[/mm]:
> [mm]f(x) = \ln(e^{2x}+1) \Rightarrow f'(x) = \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}[/mm]
Hallo,
ich würde jetzt im Zähler 2 addieren und wieder subtrahieren:
[mm]f'(x) = \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}= \bruch{\red{2e^{2x}+2}-2}{e^{2x}+1}[/mm],
das lässt sich vereinfachen zu
[mm]\red{2}-\bruch{2}{e^{2x}+1}[/mm].
Da der Subtrahend stets größer als 0 ist, ist [mm]\red{2}-\bruch{2}{e^{2x}+1}[/mm] immer kleiner als 2. Das funktioniert unabhängig von deinen Intervallgrenzen.
Gruß Abakus
>
> Dann führe ich mittels der Dreiecksungleichung eine
> Abschätzung nach oben durch, es gilt: [mm]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1}[/mm]
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> Auf dem Intervall [mm]I := [/img] lässt sich aber
> m.E. kein [mm]n \in \IN[/mm] finden, da egal mit welchem x-Wert man
> in die Funktion reingeht,
> es wird stets eine reelle Zahl (Kommazahl) als
> Funktionswert angenommen.
>
> ABER: Für [mm]x=0[/mm] würde ein [mm]n \in \IN[/mm] gefunden werden,
> nämlich:
>
> [mm]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{2 \cdot{} 0}|}{|e^{2 \cdot{} 0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{0}|}{|e^{0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|1|}{|1|+1} \le \bruch{2}{2} = 1 := n[/mm],
> aber [mm]0 \not\in I[/mm], deswegen gibt es kein [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]\left| f'(x) \right| \le n[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm].
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> Ist das so korrekt?
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> Danke im voraus für die Hilfe!
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Hallo. Ok, aber was genau bringt mir das?
Ist mein Lösungsvorschlag nur falsch begründet?
Es gibt doch trotzdem kein [m]n \in \IN[/m] oder?
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Hiho,
> Hallo. Ok, aber was genau bringt mir das?
> Ist mein Lösungsvorschlag nur falsch begründet?
> Es gibt doch trotzdem kein [m]n \in \IN[/m] oder?
Natürlich gibt es so ein n!
Das hat Abakus doch bereits bewiesen!
Dein Satz
> Auf dem Intervall $ I := [mm] [e^{-1}, e^{2}] [/mm] $ lässt sich aber m.E. kein $ n [mm] \in \IN [/mm] $ finden, da egal mit welchem x-Wert man in die Funktion reingeht,
es wird stets eine reelle Zahl (Kommazahl) als Funktionswert angenommen.
macht doch im Zusammenhang der Aufgabe gar keinen Sinn.
Natürlich ist [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] eine Kommazahl, nämlich 0.5, aber es gilt [mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] 1$.
Ich denke du hast gar nicht verstanden, worum es bei der Aufgabe geht.
Es geht übrigens auch ohne "nahrhafte Null": $|f'(x)| = [mm] \bruch{2e^{2x}}{e^{ex} + 1} \le \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}} [/mm] = 2$
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Do 25.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Es geht übrigens auch ohne "nahrhafte Null": [mm]|f'(x)| = \bruch{2e^{2x}}{e^{ex} + 1} \le \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}} = 2[/mm]
Gono meint hier natürlich
$|f'(x)| = [mm] \bruch{2e^{2x}}{e^{\red{2}x} + 1} \le \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}} [/mm] = 2$,
aber das sollte klar sein.
Übrigens könnte man noch folgendes anmerken:
[mm] f'(x)=\bruch{2e^{2x}}{e^{2x} + 1}=1+\tanh(x).
[/mm]
Vielleicht hilft dir das zur Lösung einer anderen Teilaufgabe.
Gruß
DieAcht
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