matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenAbschätzung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionen" - Abschätzung
Abschätzung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Do 25.09.2014
Autor: gummibaum

Aufgabe
Gegeben ist [m]f(x) = \ln(e^{2x}+1)[/m] auf [m]I := [e^{-1}, e^{2}][/m].
Finden Sie ein [m]n \in \IN[/m], so dass [m]\left| f'(x) \right| \le n[/m] für alle [m]x \in I[/m].

Hallo zusammen.

Ich versuche hier mal systematisch ranzugehen...

Gegeben: [m]f[/m] mit [m]f(x) = \ln(e^{2x}+1), \ I := [e^{-1}, e^{2}][/m]

Gesucht: [m]n \in \IN[/m] mit [m]\left| f'(x) \right| \le n[/m] für alle [m]x \in I[/m]

Zunächst bilde ich die erste Ableitung von [m]f[/m]:
[m]f(x) = \ln(e^{2x}+1) \Rightarrow f'(x) = \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}[/m]

Dann führe ich mittels der Dreiecksungleichung eine Abschätzung nach oben durch, es gilt: [m]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1}[/m]

Auf dem Intervall [m]I := [e^{-1}, e^{2}][/m] lässt sich aber m.E. kein [m]n \in \IN[/m] finden, da egal mit welchem x-Wert man in die Funktion reingeht,
es wird stets eine reelle Zahl (Kommazahl) als Funktionswert angenommen.

ABER: Für [m]x=0[/m] würde ein [m]n \in \IN[/m] gefunden werden, nämlich:

[m]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{2 \cdot{} 0}|}{|e^{2 \cdot{} 0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{0}|}{|e^{0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|1|}{|1|+1} \le \bruch{2}{2} = 1 := n[/m], aber [m]0 \not\in I[/m], deswegen gibt es kein [m]n \in \IN[/m] mit [m]\left| f'(x) \right| \le n[/m] für alle [m]x \in I[/m].

Ist das so korrekt?

Danke im voraus für die Hilfe!

        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Do 25.09.2014
Autor: abakus


> Gegeben ist [mm]f(x) = \ln(e^{2x}+1)[/mm] auf [mm]I := [/img].

>

> Finden Sie ein [mm]n \in \IN[/mm], so dass [mm]\left| f'(x) \right| \le n[/mm]
> für alle [mm]x \in I[/mm].
> Hallo zusammen.

>

> Ich versuche hier mal systematisch ranzugehen...

>

> Gegeben: [mm]f[/mm] mit [mm]f(x) = [mm] \ln(e^{2x}+1), [/mm] \ I := [/img]

>

> Gesucht: [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]\left| f'(x) \right| \le n[/mm] für alle
> [mm]x \in I[/mm]

>

> Zunächst bilde ich die erste Ableitung von [mm]f[/mm]:
> [mm]f(x) = \ln(e^{2x}+1) \Rightarrow f'(x) = \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}[/mm]

Hallo,
ich würde jetzt im Zähler 2 addieren und wieder subtrahieren:
[mm]f'(x) = \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1}= \bruch{\red{2e^{2x}+2}-2}{e^{2x}+1}[/mm],
das lässt sich vereinfachen zu 
[mm]\red{2}-\bruch{2}{e^{2x}+1}[/mm].
Da der Subtrahend stets größer als 0 ist, ist [mm]\red{2}-\bruch{2}{e^{2x}+1}[/mm] immer kleiner als 2. Das funktioniert unabhängig von deinen Intervallgrenzen.
Gruß Abakus
>

> Dann führe ich mittels der Dreiecksungleichung eine
> Abschätzung nach oben durch, es gilt: [mm]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1}[/mm]

>

> Auf dem Intervall [mm]I := [/img] lässt sich aber
> m.E. kein [mm]n \in \IN[/mm] finden, da egal mit welchem x-Wert man
> in die Funktion reingeht,
> es wird stets eine reelle Zahl (Kommazahl) als
> Funktionswert angenommen.

>

> ABER: Für [mm]x=0[/mm] würde ein [mm]n \in \IN[/mm] gefunden werden,
> nämlich:

>

> [mm]|f'(x)| \le \left| \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}+1} \right| \le \bruch{|2e^{2x}|}{|e^{2x}+1|} \le \bruch{2|e^{2x}|}{|e^{2x}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{2 \cdot{} 0}|}{|e^{2 \cdot{} 0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|e^{0}|}{|e^{0}|+1} \le \bruch{2\cdot{}|1|}{|1|+1} \le \bruch{2}{2} = 1 := n[/mm],
> aber [mm]0 \not\in I[/mm], deswegen gibt es kein [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]\left| f'(x) \right| \le n[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm].

>

> Ist das so korrekt?

>

> Danke im voraus für die Hilfe!

Bezug
                
Bezug
Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Do 25.09.2014
Autor: gummibaum

Hallo. Ok, aber was genau bringt mir das?
Ist mein Lösungsvorschlag nur falsch begründet?
Es gibt doch trotzdem kein [m]n \in \IN[/m] oder?

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Do 25.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo. Ok, aber was genau bringt mir das?
>  Ist mein Lösungsvorschlag nur falsch begründet?
>  Es gibt doch trotzdem kein [m]n \in \IN[/m] oder?

Natürlich gibt es so ein n!
Das hat Abakus doch bereits bewiesen!

Dein Satz

> Auf dem Intervall $ I := [mm] [e^{-1}, e^{2}] [/mm] $ lässt sich aber m.E. kein $ n [mm] \in \IN [/mm] $ finden, da egal mit welchem x-Wert man in die Funktion reingeht,

es wird stets eine reelle Zahl (Kommazahl) als Funktionswert angenommen.

macht doch im Zusammenhang der Aufgabe gar keinen Sinn.

Natürlich ist [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] eine Kommazahl, nämlich 0.5, aber es gilt [mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] 1$.

Ich denke du hast gar nicht verstanden, worum es bei der Aufgabe geht.

Es geht übrigens auch ohne "nahrhafte Null": $|f'(x)| = [mm] \bruch{2e^{2x}}{e^{ex} + 1} \le \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}} [/mm] = 2$

Gruß,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Do 25.09.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Es geht übrigens auch ohne "nahrhafte Null": [mm]|f'(x)| = \bruch{2e^{2x}}{e^{ex} + 1} \le \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}} = 2[/mm]

Gono meint hier natürlich

      $|f'(x)| = [mm] \bruch{2e^{2x}}{e^{\red{2}x} + 1} \le \bruch{2e^{2x}}{e^{2x}} [/mm] = 2$,

aber das sollte klar sein.

Übrigens könnte man noch folgendes anmerken:

      [mm] f'(x)=\bruch{2e^{2x}}{e^{2x} + 1}=1+\tanh(x). [/mm]

Vielleicht hilft dir das zur Lösung einer anderen Teilaufgabe.


Gruß
DieAcht

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]