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neutrales Element

Definition neutrales Element


Schule


Universität

Es sei $ (H, \circ) $ eine Halbgruppe. $ e \in H $ heißt linksneutrales (bzw. rechtsneutrales) Element von $ H $ (bzgl. $ \circ $), wenn

$ e \circ a = a $  (bzw. $ a \circ e=a $)

für alle $ a \in H $ gilt.

Ein zugleich links- und rechtsneutrales Element heißt neutral.


Beispiele

(1) In $ (\IZ,+) $, $ (\IZ,\cdot) $, $ (\IZ_n,\cdot) $, $ (P(X),\cap) $, $ (P(X),\cup) $, $ (E(X), \circ) $ sind $ 0 $, $ 1 $, $ \bar{0} $, $ \bar{1} $, $ X $, $ \emptyset $, $ Id_X $ jeweils (in gleicher Reihenfolge) neutral.

(2) In

$ H=\left\{ \pmat{a & b \\ 0 & 0 } \, \vert \, a,b\in \IR \right\} $,

versehen mit der Matrixmultiplikation, ist $ \pmat{1 & 0 \\ 0 & 0} $ linksneutral, aber nicht rechtsneutral.

(3) Wenn man in einer beliebigen Menge $ M \ne \emptyset $ eine Verknüpfung $ \circ $ durch $ x \circ y=y $ (für alle $ x,y \in M $) definiert, dann ist $ (M,\circ) $ eine Halbgruppe, in der jedes Element linksneutral ist. Hat $ M $ mehr als ein Element, dann gibt es in $ M $ kein rechtsneutrales Element.


Quelle: isbn3446130799

Erstellt: So 31.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Mo 08.08.2005 um 20:24 von Marc
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