matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > konvex
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
konvex
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

konvex

Schule

Definition konvex

Als konvex (lat.: convexus gewölbt, gerundet) bezeichnet man u. a. in der Mathematik und in der Optik Formen (Flächenteile, Linien), die nach außen gewölbt sind.

Gegenteil zu konkav

siehe Wikipedia


Definition konvexe Funktion


Universität

Definition konvexe Funktion

Es sei $ D\subseteq \IR $ oder $ D\subseteq V $, V Vektorraum.
Eine Funktion $ f: D\to\IR $ heißt konvex, wenn für alle $ x,y\in D $ mit $ x\not= y $ gilt:
$ f\left(\bruch{x+y}{2}\right)\le \bruch{f(x)+f(y)}{2} $
Die Funktion heißt streng konvex, wenn sogar "<" in obiger Ungleichung gilt.


Beispiele für konvexe Funktionen

1) $ f:\IR\to\IR $, $ f(x)=x^2 $: streng konvex


Sätze über konvexe Funktionen


Lemma.

Dann gilt:

  • $ q $ konvex auf $ I $ $ \gdw\ S(x,t)\le S(x,y)\le S(t,y)\ \forall x,t,y\in I $ mit $ x<t<y $
Dabei ist $ S(x,y):=\bruch{q(x)-q(y)}{x-y} $

Quelle: isbn3110172364


Satz. ("rechtsseitige Tangenten konvexer Funktionen verlaufen unterhalb des Graphen")

  • $ I\subset\IR $ nichtleeres Intervall
  • $ q: I\to\IR $ Funktion
  • $ q $ ist in jedem inneren Punkt $ x $ von $ I $ rechts- und linksseitig differenzierbar ($ q $ ist daher auf dem Innern $ \mathring{I} $ von $ I $ stetig)
  • $ q_+'(x) $ bezeichne die rechtsseitige Ableitung von $ q $ in $ x\in\mathring{I} $

Dann gilt:

  • $ q_+' $ ist auf $ \mathring{I} $ isoton
  • $ q(y)\ge q(x)+q_+'(x)(y-x) $    ($ x\in\mathring{I}, y\in I $)
    ("die rechtsseitige Tangente im Punkt $ (x,q(x)) $ an den Graphen von $ q $ verläuft unterhalb dieses Graphens")

Quelle: isbn3110172364


Definition konvexe Menge


Universität

Erstellt: So 21.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 30.09.2008 um 22:23 von informix
Weitere Autoren: Frusciante
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]