invertierbares Element
!!Definition ''invertierbares Element'
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Es sei  eine Halbgruppe mit neutralem Element  .
Ein Element  heißt linksinvertierbar (bzw. rechtsinvertierbar), wenn es ein  gibt mit
 (bzw.  ).
Das Element  heißt ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von  .
Ein Element aus  heißt __invertierbar __, wenn es sein Links- und ein Rechtsinverses besitzt.
Beispiele
1) In der Halbgruppe  aller Abbildungen von  in sich sind die linksinvertierbaren Elemente genau die injektiven Abbildungen und die rechtsinvertierbaren Elemente genau die surjektiven Abbildungen (und damit die invertierbaren Elemente genau die bijektiven Abbildungen).
Sei  injektiv, dann prüft man sofort nach, dass  , definiert durch
![$ g(y):= \left\{ \begin{array}{cccc} y & , & \mbox{\scriptsize falls} & y \in X \setminus f(X),\\[5pt] x & , & \mbox{\scriptsize falls} & y=f(x), \end{array} \right. $](/teximg/9/6/00392069.png "$ g(y):= \left\{ \begin{array}{cccc} y & , & \mbox{\scriptsize falls} & y \in X \setminus f(X),\\[5pt] x & , & \mbox{\scriptsize falls} & y=f(x), \end{array} \right. $")
ein Linksinverses von  ist. Besitzt umgekehrt ein Linksinverses  ,  , dann folgt aus  durch Anwendung von
 ,
also ist injektiv.
Nun sei  surjektiv. Dann ist jede Urbildmenge
nicht leer und wir können aus jeder dieser Mengen ein Element  auswählen (Auswahlaxiom). Es definiert  eine Abbildung, sie werde mit  bezeichnet, für die definitionsgemäß gilt:
 ,
d.h.  .
Haben wir umgekehrt eine Abbildung  mit  , dann gibt es zu jedem Element  ein Element  , nämlich  , so dass gilt:
 ;
d.h. ist surjektiv.
2) Wir wollen die invertierbaren Elemente in  und  bestimmen:
Wegen
ist in jedes Element invertierbar.
Nun sei  in invertierbar, d.h. es gibt ein  mit
 .
Dies bedeutet:
 für ein  .
Also:
 in  invertierbar
 Es gibt  mit 
 und  sind teilerfremd.
(Die letzte Äquivalenz ist die Aussage das Lemmas von Bézout.)
Ist  eine Primzahl, so folgt insbesondere, dass jedes Element  in  invertierbar ist.
Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9
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