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geometrische Reihe

Definition geometrische Reihe

$ q\in\IC $, $ n\in\IN $

Die Reihe
$ \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k $
heißt geometrische Reihe.

Für ihre Partialsummen gilt:

$ q\neq1 $: $ 1+q+q^2+q^3+\ldots+q^n=\sum\limits_{k=0}^{n} q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $
$ q=1 $: $ 1+q+q^2+q^3+\ldots+q^n=n+1 $

Konvergenzverhalten
Die geometrische Reihe ist konvergent, falls $ |q|<1 $; für den Grenzwert gilt dann:
$ \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} $.
Die geometrische Reihe ist divergent für $ |q|>1 $

TODO: Konvergenzverhalten bei |q|=1?


Erstellt: Sa 28.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Sa 28.08.2004 um 04:03 von Marc
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