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folgenstetig

Universität

Sei $ f \colon (X,d) \to (Y,e) $ eine Abbildung zwischen metrischen Räumen. Ferner sei $ x_0 \in X. $ Dann gilt:
$ f\, $ ist genau dann folgenstetig in $ x_0 \in X, $ wenn für alle Folgen $ {(x_n)}_n \in X^{\IN} $ mit $ \lim_{n \to \infty}x_n=x_0 $ (d.h. $ (d(x_n,x_0))_n $ ist eine (reelle) Nullfolge) folgt, dass auch $ \lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(x_0) $ gilt (d.h. $ {(e(f(x_n),f(x_0)))}_n $ ist eine (reelle) Nullfolge). Bekanntlich ist eine solche Funktion genau dann stetig in $ x_0 \in X, $ wenn $ f\, $ folgenstetig in $ x_0 \in X $ ist. Ferner ist eine Funktion $ f\, $ genau dann stetig, wenn sie in allen $ x_0 \in X $ folgenstetig ist.

Bemerkungen:
(1) Ist $ x_0 \in X $ ein isolierter Punkt, d.h. es gibt ein $ \Delta > 0 $ so, dass $ U_{\Delta}(x_0):=\{y \in X:\;\;d(y,x_0) < \Delta\}=\{x_0\} $ gilt, so ist $ f\, $ stetig in $ x_0\,. $

Beweis: Aus $ x_n \to x_0 $ folgt die Existenz eines $ N \in \IN $ derart, dass $ x_n=x_0 $ für alle $ n \ge N $ gilt (wähle etwa $ \epsilon:=\Delta/2 > 0 $). Wegen $ f(x_n)=f(x_0) $ für alle $ n \ge N $ folgt dann schon $ f(x_n) \to f(x_0)\,. $ Also ist $ f\, $ folgenstetig in $ x_0 $ und damit insbesondere auch stetig in $ x_0\,. $ $ \Box $

(2) Die Funktion $ f \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR $ mit $ f(x):=1/x $ für $ x \in \IR \setminus \{0\} $ ist überall folgenstetig und damit auch überall stetig. Es macht keinen Sinn, die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle $ x_0=0 $ zu untersuchen, denn es ist $ x_0 \notin D:=\IR \setminus \{0\}\,. $

Erstellt: Mi 19.06.2013 von Marcel
Letzte Änderung: Mi 19.06.2013 um 16:10 von Marcel
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