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direktes Produkt von Halbgruppen

Definition direktes Produkt von Halbgruppen


Schule


Universität

Es sei $ I $ eine nichtleere Menge und $ \{(H_{\alpha},\circ_{\alpha})\}_{\alpha \in I} $ eine Familie von Halbgruppen. Auf dem mengentheoretischen direkten Produkt

$ \prod\limits_{\alpha \in I} H_{\alpha}= \left\{f\, \vert\, f:I \to \bigcup\limits_{\alpha \in I} H_{\alpha} \ \mbox{\scriptsize mit} \ f(\alpha) \in H_{\alpha} \right\} $

definieren wir eine innere Verknüpfun $ \circ $ durch

$ (f,g) \mapsto f \circ g $,

wobei $ f \circ g : I \to \bigcup\limits_{\alpha \in I} H_{\alpha} $ bestimmt ist durch

$ (f \circ g)(\alpha):= f(\alpha) \circ_{\alpha} g(\alpha) $.

Da die $ H_{\alpha} $ nicht leer sind, ist auch $ \prod\limits_{\alpha \in I} H_{\alpha} $ nicht leer (nach dem Auswahlaxiom) und da ferner alle $ \circ_{\alpha} $ assoziativ sind, ist auch $ \circ $ assoziativ, denn

$ [(f \circ g) \circ h](\alpha) = f(\alpha) \circ_{\alpha} g(\alpha) \circ_{\alpha} h(\alpha) = [f \circ (g \circ h)](\alpha) $.

Also ist $ \left( \prod\limits_{\alpha \in I}H_{\alpha},\circ \right) $ eine Halbgruppe, das direkte Produkt der Halgruppen $ (H_{\alpha},\circ_{\alpha}),\, \alpha \in I $.

Im Sonderfall $ I=\{1,2,\ldots,n\} $ ist das

$ H_1 \times \ldots \times H_n = \{(a_1,\ldots,a_n)\, \vert \, a_i \in H_i \ (1 \le i \le n)\} $

mit komponentenweiser Verknüpfung

$ (a_1,\ldots,a_n) \circ (b_1,\ldots,b_n) = (a_1 \circ_1 b_1,\ldots,a_n \circ_n b_n) $.

Man beachte hier, dass die $ \circ_i $ völlig verschiedene Verknüpfungen sein können, zum Beispiel im direkten Produkt von $ (\IZ,+) $ mit $ (\IZ,\cdot) $ ist

$ (x,y) \circ (u,v) = (x+u,yv) $.


Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9

Erstellt: Sa 30.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 31.07.2005 um 21:27 von Stefan
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