ZentrumDefinition Zentrum
Universität
Es sei  eine Gruppe. Man betrachte die Abbildung
![$ \Phi \, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & Aut(G) \\[5pt] x & \mapsto & \varphi_x, \end{array} $](/teximg/2/2/00394222.png "$ \Phi \, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & Aut(G) \\[5pt] x & \mapsto & \varphi_x, \end{array} $") ,
wobei  die Automorphismengruppe von und
![$ \varphi_x \, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & G \\[5pt] b & \mapsto & xbx^{-1} \end{array} $](/teximg/3/2/00394223.png "$ \varphi_x \, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & G \\[5pt] b & \mapsto & xbx^{-1} \end{array} $")
ein innerer Automorphismus sei.
 ist ein Gruppenhomomorphismus:
Wegen
ist  , d.h.
 .
Der Kern dieses Homomorphismus bestimmt sich zu
![$ Kern(\Phi) = \{x \in G\, \vert\, \varphi_x=Id\} = \{x \in G\, \vert\, xyx^{-1} = y \quad \mbox{f"ur alle} \ y \in G\} = \{x \in G\, \vert\, xy=yx \quad \mbox{f"ur alle} \ y \in G\} $](/teximg/4/2/00394224.png "$ Kern(\Phi) = \{x \in G\, \vert\, \varphi_x=Id\} = \{x \in G\, \vert\, xyx^{-1} = y \quad \mbox{f"ur alle} \ y \in G\} = \{x \in G\, \vert\, xy=yx \quad \mbox{f"ur alle} \ y \in G\} $") .
 wird häufig mit  bezeichnet und heißt das Zentrum von .
Das Zentrum "misst" den "Grad der Kommutativität" von . Es ist  genau dann, wenn abelsch ist. Elemente  heißen vertauschbar, wenn  gilt. Das Zentrum besteht also aus all den Elementen von , die mit jedem Element von vertauschbar sind.
Quelle: isbn3446130799
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