Gruppe von PermutationenDefinition Gruppe von Permutationen
Universität
Ursprünglich fasste man Gruppentheorie auf als das Studium von nichtleeren Teilmengen  (siehe symmetrische Gruppe, für die mit je 2 Elementen  aus  auch  aus ist. Da das Assoziativgesetz und die Kürzungsregeln gelten (sie gelten bereits in  ) handelt es sich bei diesen Mengen auch um Gruppen, sogenannte Gruppen von Permutationen (vom Grad  ).
Erst die abstrakte Axiomatisierung durch Cayley verhalf der Gruppentheorie zum entscheidenen Durchbruch. Dass aber durch die abstrakte Formulierung "eigentlich" nichts Neues gefunden wurde, word nun mittels des Isomorphiebegriffes geklärt:
Es sei  eine Gruppe. Für jedes  definiert man  durch
 .
Das Assoziativgesetz,  für alle  , ist äquivalent zu
(*)  für alle  .
Sei  . (*) zeigt, dass  eine Halbgruppe ist (eine Unterhalbgruppe von  . Ferner ist  und jede Permutation  hat ein Inverses in , nämlich  . Damit ist eine Gruppe von Permutationen.
Betrachten wir nun die Abbildung
![$ L\, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & L(G) \\[5pt] g & \mapsto & L(g) \end{array} $](/teximg/9/1/00392119.png "$ L\, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & L(G) \\[5pt] g & \mapsto & L(g) \end{array} $") ,
so zeigt (*) auch, dass dies ein Homomorphismus ist.
Sei  ,  . Wenden wir beide Seiten dieser Gleichung auf das neutrale Element  an, so folgt  . Also ist  auch injektiv. ist damit ein Isomorphismus von auf . Wir haben bewiesen:
Satz (Cayley): Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Gruppe von Permutationen von G.
Insbesondere ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zu einer Gruppe von Permutationen vom Grad .
Quelle: isbn3446130799
| 
