matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Funktionsgrenzwert
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Funktionsgrenzwert
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Funktionsgrenzwert

Universität

Seien $ (X,d)\, $ und $ (Y,e)\, $ metrische Räume und sei $ f \colon X \to Y $ eine Funktion (zwischen den beiden metrischen Räumen; man schreibt dafür auch oft einfach $ f \colon (X,d) \to (Y,e). $). Sei $ x_0 $ ein Häufungspunkt (Menge) der Menge X. Die $ \epsilon-\delta- $ (besser: $ \epsilon-\delta-x_0- $) Definition des Begriffes Funktionsgrenzwert an der Stelle $ \mathbf{x_0} $ (siehe auch Grenzwert) lautet wie folgt:

Man sagt, $ f\, $ habe an der Stelle $ x_0 $ einen Funktionsgrenzwert, wenn gilt:
Es existiert ein $ g \in Y $ so, dass

   $ \forall \epsilon > 0 \exists \delta=\delta_{x_0,\epsilon} > 0:\;\;\forall x \in X: \;\;0 \blue{\;<\;}d(x,x_0) < \delta \Longrightarrow e(f(x),\blue{\;g\;}) < \epsilon. $

Falls ein $ g\, $ wie oben existiert, so schreibt man auch $ \lim_{x \to x_0}f(x):=g. $ Man beachte dabei, dass das Symbol $ \lim_{x \to x_0}f(x) $ für den Funktionsgrenzwert von $ f\, $ an der Stelle $ x_0 $ im Sinne von $ \lim_{x_0 \not=x \to x_0}f(x) $ verwendet wird. Beachtenswert ist dabei insbesondere, dass weder $ f\, $ an der Stelle $ x_0 $ zu definiert sein braucht, noch, dass, falls $ x_0 \in X $ gilt, auch $ \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) $ gelten muss. Falls allerdings $ x_0 \in X $ gilt, so ist $ f\, $ genau dann stetig in $ x_0 \in X, $ falls $ \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) $ gilt.

Beispiel(e):
Betrachten wir

   $ g \colon \IR \to \IR $


mit g(3):=2 und g(x):=1 für alle $ x \in \IR \setminus \{3\}. $ Ferner betrachten wir $ h:=g_{|\IR \setminus \{3\}}\,. $

Dann gilt mit $ x_0:=3 $ sowohl $ \lim_{x \to x_0}g(x)=\lim_{x \to 3}g(x)=1 $ als auch $ \lim_{x \to x_0}h(x)=\lim_{x \to 3}h(x)=1\,, $ obwohl zum einen $ g(x_0)=g(3)=2 \not=1 $ ist als auch zum anderen $ h(3)\, $ gar nicht existiert.

Beweis:
Sei $ \epsilon > 0\,. $ Sogar für jedes $ \delta > 0 $ gilt: Für $ 0 < |x-3| < \delta $ folgt (weil dann $ g(x)=1\, $ wegen $ x \not=3 $ ist)

   $ |g(x)-1|=|1-1|=0 < \epsilon\,. $


Analog auch:
Sei $ \epsilon > 0\,. $ Sogar für jedes $ \delta > 0 $ gilt: Für $ 0 < |x-3| < \delta $ folgt (weil dann $ h(x)=1\, $ wegen $ x \not=3 $ ist)

   $ |h(x)-1|=|1-1|=0 < \epsilon\,. $

$ \Box $

Letzte Änderung: Di 18.06.2013 um 11:22 von Marcel
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]