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Definition Quadratische Ergänzung

Eine Quadratische Ergänzung nennt man die Erweiterung eines Terms der Form

$ x^2+px $

zu einer binomischen Formel:

$ x^2+px+\underbrace{\left( \bruch{p}{2}\right)^2}_{\mbox{quadratische Ergänzung}} = \left( x + \bruch{p}{2} \right)^2 $

Die quadratische Ergänzung wird häufig zum Lösen quadratischer Gleichungen oder zur Scheitelpunktsbestimmung von Parabeln benutzt.


Beispiel

$ p(x)=x^2+8x-12 $ ist der Term einer Parabel.
Der Scheitelpunkt der Parabel soll bestimmt werden.

Das geschieht mit der Methode der quadratischen Ergänzung:

$ x^2+8x-12 =x^2+\underbrace{8}_{2\cdot{}\red{4}}x+\underbrace{\red{4}^2-\red{4}^2}_{\text{Addition von Null}}-12 $

geschicktes Setzen von Klammern erlaubt es, einen binomischen Term zu sehen:

$ x^2+8x-12 =(x^2+8x+4^2)-4^2-12=(x+4)^2-16-12=(x+4)^2-28 $

Diese Methode wird vor allem bei der Bestimmung der Scheitelpunktform einer Parabel angewandt.



siehe auch: p/q-Formel

Erstellt: Do 11.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 04.12.2008 um 12:13 von maxi85
Weitere Autoren: informix
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