Cramersche Regel

Cramersche Regel

Sei eine -Matrix. Falls existiert eine explizite Determinantenformel für die Lösung eines gegebenen Gleichungssystems .

lässt sich als Linearkombination der Spalten der Matrix mit Koeffizienten schreiben:

Mittels Subtraktion des Vektors von dem i-ten Summanden folgt:

Die Spalten der zugehörigen Matrix

sind also linear abhängig und die Determinante somit Null. Mit der Eigenschaft der Linearität der Determinante folgt:

Damit ist folgendes evident:

Satz

Ist und , dann gilt für :

Beispiel

Betrachte das lineare Gleichungssystem

Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist

                                                                 .

Nach der Cramerschen Regel gilt:

Wie das Beispiel zeigt ist die Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramerschen Regel recht unpraktisch. Sie ist vielmehr im Hinblick auf den Zusammenhang der Veränderung von und und der Lösung interessant. Sie stellt somit ein wichtiges Instrument zur Untersuchung der durch definierten Abbildung dar.

Literatur

isbn9783540592235 K. Jänich: Lineare Algebra.