Bolzano-WeierstraßSatz von Bolzano-Weierstraß
Jede beschränkte Folge in  (oder  ) hat einen Häufungspunkt.
Beweis für
Sei  eine beschränkte Folge. Konstruiere eine Intervallschachtelung ![$ [I_k, J_k] $](/teximg/7/5/02446157.png "$ [I_k, J_k] $") , s.d.  :
Da beschränkt ist, folgt  . Das impliziert für alle ![$ n\in\IN: a_n\in[-K,K]=:[I_1,J_1] $](/teximg/0/6/02446160.png "$ n\in\IN: a_n\in[-K,K]=:[I_1,J_1] $") .
Sei nun ![$ [I_k,J_k] $](/teximg/2/6/02446162.png "$ [I_k,J_k] $") mit  gegeben. Konstruiere dann ![$ [I_{k+1},J_{k+1}] $](/teximg/1/6/02446161.png "$ [I_{k+1},J_{k+1}] $") wie folgt:
Sei  Mittelpunkt von . Dann enthält ![$ [I_k,M] $](/teximg/3/6/02446163.png "$ [I_k,M] $") oder ![$ [M,J_k] $](/teximg/4/6/02446164.png "$ [M,J_k] $") unendlich viele  . Setze
Dann enthält unendlich viele und  für fast alle  per constructionem. Für die Längen der Intervalle definiert vermöge ![$ l:\{[a,b]|a,b\in\IR\}\to\IR $](/teximg/1/7/02446171.png "$ l:\{[a,b]|a,b\in\IR\}\to\IR $") mit ![$ l([a,b])=b-a $](/teximg/0/7/02446170.png "$ l([a,b])=b-a $") gilt:
 ![$ l([I_k,J_k])=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot l([I_1,J_1]) $](/teximg/2/7/02446172.png "$ l([I_k,J_k])=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot l([I_1,J_1]) $") ![$ l([I_k,J_k])\to 0\mbox{ für }k\to\infty $](/teximg/3/7/02446173.png "$ l([I_k,J_k])\to 0\mbox{ für }k\to\infty $") . Also sind die Intervallschachtellung.
Es existiert also ein  mit ![$ p\in[I_k,J_k]\mbox{ } \forall k\in\IN $](/teximg/7/7/02446177.png "$ p\in[I_k,J_k]\mbox{ } \forall k\in\IN $") . Zu  wähle  mit ![$ ]p-\epsilon,p+\epsilon[\supseteq[I_k,J_k] $](/teximg/8/7/02446178.png "$ ]p-\epsilon,p+\epsilon[\supseteq[I_k,J_k] $") . Da unendlich viele enthält, folgt dies auch für ![$ ]p-\epsilon,p+\epsilon[ $](/teximg/9/7/02446179.png "$ ]p-\epsilon,p+\epsilon[ $") . Es wurde also gezeigt:
 existieren unendlich viele :  .
Daraus folgt direkt:  ist Häufungspunkt.
( ist sogar größter Häufungspunkt! Denn existierte ein größerer Häufungspunkt, wäre  für hinreichend große  verletzt.)
Beispiele
Beispiel 1:
 definiert durch  . Offensichtlich ist  . Also hat mindestens einen Häufungspunkt bzw. konvergente Teilfolgen.
In der Tat existieren sogar genau zwei Häufungspunkte  und  .
Beispiel 2:
definiert durch  . Dann ist  , denn  ist monoton fallend, was die Abschätzung  impliziert.
Also besitzt  mindestens einen Häufungspunkt.
Man sieht in diesem Beispiel leicht ein, dass genau ein Häufungspunkt existiert.
Bemerkung
Man kann zudem folgende Formulierung des Satzes (Bolzano-Weierstraß) zeigen (vgl. dazu Amman, Escher (2006)):
Jede beschränkte Folge in  besitzt eine
konvergente Teilfolge bzw. einen Häufungspunkt.
Literatur
isbn3764377550 H. Amman/J. Escher: Analysis I
| 
![$ a_n\in[I_k,J_k]\mbox{ für unendlich viele n und } a_n\le J_k\mbox{ für fast alle n}\in\IN.\mbox{ }(\ast) $](/teximg/5/5/02446155.png "$ a_n\in[I_k,J_k]\mbox{ für unendlich viele n und } a_n\le J_k\mbox{ für fast alle n}\in\IN.\mbox{ }(\ast) $"){kind=small}
![$ [I_k,J_k]:= \begin{cases}
[I_k,M] & \text{falls } a_n \le M\mbox{ für fast alle n} \\
[M,J_k] & \text{sonst}
\end{cases} $](/teximg/5/6/02446165.png "$ [I_k,J_k]:= \begin{cases}
[I_k,M] & \text{falls } a_n \le M\mbox{ für fast alle n} \\
[M,J_k] & \text{sonst}
\end{cases} $")
![$ l([I_{k+1},J_{k+1}])=\frac{1}{2}l([I_{k},J_{k}]) $](/teximg/7/6/02446167.png "$ l([I_{k+1},J_{k+1}])=\frac{1}{2}l([I_{k},J_{k}]) $"){kind=small}
