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Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A20

Beweis-Tutorial

$\uparrow$ 4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 20

Aufgabe:

Sei $f\colon\IR\to\IR$ eine Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Zeige $f(x)=0\$ für alle reellen Zahlen $x\$ . (Tipp: Gemäß Aufgabe 16 gilt: Für alle reellen Zahlen $a\$ mit $a=-a\$ gilt $a=0\$ .)

Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
Funktion $f\colon\IR\to\IR$
$f\$ gerade, d.h. $f(-x)=f(x)\$ für alle reellen Zahlen $x\$ .
$f\$ ungerade, d.h. $f(-x)=-f(x)\$ für alle reellen Zahlen $x\$ .
$a=0\$ gilt für alle reellen Zahlen $a\$ mit $a=-a\$ (gemäß Aufgabe 16).
Zu zeigen:
$f(x)=0\$ für alle reellen Zahlen $x\$ .

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahl $\widetilde{x}$ und wollen $f(\widetilde{x})=0$ zeigen.

Um $f(-x)=f(x)\$ für alle reellen Zahlen $x\$ und $f(-x)=-f(x)\$ für alle reellen Zahlen $x\$ gewinnbringend nutzen zu können, werden wir diese beiden Aussagen auf die reelle Zahl $\widetilde{x}$ anwenden.

Um den Tipp $a=0\$ für alle reellen Zahlen $a\$ mit $a=-a\$ gewinnbringend nutzen zu können, brauchen wir eine reelle Zahl $\widetilde{a}$ , von der wir $\widetilde{a}=-\widetilde{a}$ wissen. Da wir $f(\widetilde{x})=0$ zeigen wollen, wäre ideal, wenn wir $\widetilde{a}:=f(\widetilde{x})$ wählen könnten, also wenn es uns gelänge, $f(\widetilde{x})=-f(\widetilde{x})$ zu zeigen.

Alles Weitere könnt ihr dem unten stehenden Lösungsvorschlag entnehmen.

Lösungsvorschlag:

Sei $\widetilde{x}$ eine reelle Zahl. Zu zeigen ist $f(\widetilde{x})=0$ .
Gegeben ist die Bedingung $f(-x)=f(x)\$ für alle reellen Zahlen $x\$ . Da $\widetilde{x}$ eine reelle Zahl ist, gilt also $f(-\widetilde{x})=f(\widetilde{x})$ .
Weiterhin ist die Bedingung $f(-x)=-f(x)\$ für alle reellen Zahlen $x\$ gegeben. Da $\widetilde{x}$ eine reelle Zahl ist, gilt also $f(-\widetilde{x})=-f(\widetilde{x})$ .
Zusammengenommen erhalten wir $f(\widetilde{x})=f(-\widetilde{x})=-f(\widetilde{x})$ . (*)
Nach Aufgabe 16 gilt $a=0\$ für alle reellen Zahlen $a\$ mit $a=-a\$ .
$\widetilde{a}:=f(\widetilde{x})$ ist gemäß (*) eine reelle Zahl mit $\widetilde{a}=-\widetilde{a}$ .
Also $\widetilde{a}=0$ .
Somit gilt $f(\widetilde{x})=\widetilde{a}=0$ , was zu zeigen war.

Erstellt: Fr 27.09.2013 von tobit09

Letzte Änderung: Sa 12.10.2013 um 05:42 von tobit09

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