Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A17Beweis-Tutorial
 4. "für alle"-Aussagen
Lösungsvorschlag Aufgabe 17
Aufgabe:
Sei  eine gerade Funktion. Zeige, dass dann auch die Funktion  gerade ist.
Überlegungen zur Lösung:
Gegeben:
eine Funktion
 gerade, d.h.  für alle reellen Zahlen  .
die Funktion
Zu zeigen:
 gerade, d.h.  für alle reellen Zahlen
Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahl  und wollen  zeigen.
Es gilt  und  ; also ist  zu zeigen.
Bringen wir nun die gegebene Aussage, dass für alle reellen Zahlen gilt, ins Spiel: Da eine reelle Zahl ist, gilt somit insbesondere  .
Also wie gewünscht .
Lösungsvorschlag:
Sei eine beliebig vorgegebene reelle Zahl.
Da gerade ist, gilt für alle reellen Zahlen .
Insbesondere gilt dies für unsere reelle Zahl , also .
Es folgt  .
Da beliebig vorgegeben war, gilt somit für alle reellen Zahlen .
Also ist gerade.
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