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Bayes

Satz von Bayes:

Sei $ (\Omega,p) $ ein diskretes Zufallsexperiment mit Wahrscheinlichkeitsverteilung $ P $ und $ I\subseteq\IN $.

$ (B_i)_{i\in\IN} $ sei paarweise disjunkt mit $ B_i\subseteq\Omega $, $ P(B_i)>0\mbox{ }\forall i\in I $ und $ \Omega=\stackrel{.}{\bigcup_{i\in I}}B_i $.

Dann gilt für alle $ A\subseteq\Omega $:
                           $ P(B_j|A)=\frac{P(B_j\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_j)\cdot P(B_j)}{\summe_{i\in I}P(A|B_i)\cdot P(B_i)} $  $ \mbox{ }\forall j\in I $

Beweis:

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt:

                           $ P(B_j|A)=\frac{P(B_j\cap A)}{P(A)} $                       (1)

Die Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit impliziert schließlich:

                           $ P(A)=\summe_{i\in I}P(A|B_i)\cdot P(B_i) $              (2)

Aus (1) und (2) folgt die Formel von Bayes. $ \square $

Letzte Änderung: Mi 24.09.2014 um 12:44 von Ladon
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