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Dipl. math. Felix Fontein
Dipl. math. Dieter Osterholz | www.matheraum.de Algebra-Training 2006 Aufgabenblatt 4 Abgabe: Fr 06.10.2006 12:00 | 22.09.2006 | Wie angekuendigt springen wir erstmal fuer den Abschnitt 5.1 nach Kapitel 5. | Aufgabe 14 |
Sei eine Gruppe, die Menge aller Untergruppen von und die Menge aller Normalteiler in .
(i) Zeige, dass eine Operation von auf liefert.
(ii) Zeige, dass die Bahn eines Elementes genau dann aus einem Element besteht, wenn ein Normalteiler in ist.
(iii) Sei fuer eine Primzahl und . Dann ist durch teilbar.
| Aufgabe 15 |
Sei eine endliche Gruppe, eine Untergruppe und der Normalisator von in . Setze .
(i) Beweise .
(ii) Sei . Zeige, dass dann auch ist.
| Aufgabe 16 |
Sei eine Gruppe, eine Untergruppe und bzw. der Normalisator bzw. Zentralisator von in . Zeige, dass ein Normalteiler in ist und dass isomorph zu einer Untergruppe von der Automorphismengruppe ist.
| Aufgabe 17 |
Sei eine Gruppe mit , wobei eine Primzahl sei und . Zeige, dass das Zentrum von mindestens Elemente umfasst.
Hinweis: Klassengleichung.
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