zyklische Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Do 24.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Welche Bedingungen müssen für a und b gelten, sodass die folgende Matrix zyklisch ist?
A:= [mm] \pmat{ a & 1 & &
\\ & a & &
\\ & &b &1
\\ & & &b} [/mm] |
Hallo,
zunächst einmal die Definition von zyklisch:
[mm] \phi [/mm] ist zyklisch, falls ein v [mm] \in [/mm] V existiert mit
[mm] Spann(v,\phi(v),\phi^2(v),...,\phi^k(v))=V [/mm]
v nennt man erzeugender Vektor.
Ich habe daher erstmal die Potenzen von A berechnet und festgestellt:
[mm] A^n [/mm] = [mm] \pmat{ a^n & na^{n-1} & &
\\ & a^n & &
\\ & &b^n &nb^{n-1}
\\ & & &b^n}
[/mm]
D.h. wenn ich als erzeugender Vektor beispielsweise [mm] e_1 [/mm] wähle, spannt dies meinen Raum nicht auf, da man eine Menge folgender Gestalt erhält: [mm] (e_1, (a,0,0,0),(a^2,0,0,0),...)
[/mm]
ähnlich verhält es sich mit [mm] e_2,e_3 [/mm] und [mm] e_4
[/mm]
Auch Summen von der [mm] e_i [/mm] führen nicht zum Ziel, da immer eine "Richtung" in der Basis fehlt.
Habe ich etwas übersehen?
Muss ich evtl. gar kein erzeugenden Vektor finden, um die Bedingungen für a und b zu sehen?
Im Prinzip handelt es sich ja um eine Jordansche Normalform. Ich dachte die Jordansche Normalform ist immer zyklisch?!
Gruß,
Rutezl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Fr 25.04.2008 | | Autor: | MacMath |
ich nehme an die Abbildung die du betrachtest ist [mm] \phi(v)=A*v
[/mm]
Du kannst über dieses k eine Aussage machen, es kann nicht kleiner als 4 sein, da du sonst nur 3 vektoren bekommst, und 4 muss ausreichen, das kann man zeigen weil [mm] \phi [/mm] linear ist.
A ist eine Blockdiagonalmatrix, d.h. dass der Jordan-Block zu a nur auf den oberen Komponenten operiert. Damit kannst du mal über notwendige Bedingungen nachdenken, denn A*v und v müssen l.u. sein.
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> Habe ich etwas übersehen?
> Muss ich evtl. gar kein erzeugenden Vektor finden, um die
> Bedingungen für a und b zu sehen?
Hallo,
schau Dich mal in Deinem Skript um.
Es gibt einen Zusammenhang mit dem Grad des Minimalpolynoms.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:49 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Angela und MacMath,
Angela:
leider haben wir in der Vorlesung das Minimalpolynom nicht behandelt. Ich habe es eben nachgelesen, was man darunter versteht. Nur den betreffenden Zusammenhang konnte ich im Internet nicht finden. (und müsste ihn, um ihn für die Übung benutzen zu können, auch erst Beweisen.)
Was mir allerdings was sagt: Die Multiplizität der Eigenwerte gibt mir die Jordanblockgröße an. Aber eine Jordannormalform habe ich ja schon durch die Aufgabenstellung gegeben.
Um zu zeigen, dass die Matrix zyklisch ist, muss ich also eine Jordanbasis finden. (oder?)
Aber diese existiert, da die MAtrix schon Jordannormalform hat. Somit ist sie auch zyklisch.
MacMath:
Ok, dass die Basisvektoren linear unabhängig sein müssen ist klar, auch dass gilt k=4.
Aber damit kann ich ja ohne einen erzeugenden Vektor nichts anfangen.(?)
Gruß,
Rutzel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Ich hatte noch eine Idee:
Sei v=(0,1,0,1) ein erzeugender Vektor.
Dann folgt als potentielle Basis:
v
Av=(1,a,1,b)
[mm] A^2v=(2a,a^2,2b,b^2)
[/mm]
[mm] A^3v=(3a,a^3,3b^2,b^3)
[/mm]
Wann sind diese 4 Vektoren l.u.?
Genau dann wenn
[mm] Det(\pmat{0&1&2a&3a\\
1&a&a^2&a^3\\
0&1&2b&3b^2\\
1&b&b^2&b^3}) \not= [/mm] 0
[mm] Det(\pmat{0&1&2a&3a\\
1&a&a^2&a^3\\
0&1&2b&3b^2\\
1&b&b^2&b^3}) [/mm] = [mm] -(a-b)^2(2a^2-b^2+a(-3+2b))
[/mm]
Es folgt:
a [mm] \not= [/mm] b
und
[mm] (2a^2-b^2+a(-3+2b)) \not= [/mm] 0
Im Prinzip handelt es sich hier um eine quadratische Gleichung, variabel in a und b.
Wir halten b fest und berechnen:
[mm] (2a^2-b^2+a(-3+2b))=0
[/mm]
=> [mm] a_0=\bruch{1}{4}(3-2b\pm\sqrt{3}\sqrt{3-4b+4b^2})
[/mm]
Wir halten a fest und brechnen:
[mm] (2a^2-b^2+a(-3+2b))=0
[/mm]
=> [mm] b_0=a\pm\sqrt{3}\sqrt{(-1+a)a}
[/mm]
Insgesamt folgt als Antwort auf die Aufgabe:
a [mm] \not= [/mm] b
a [mm] \not= a_0
[/mm]
b [mm] \not= b_0
[/mm]
Ist das so ok?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Sa 26.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ich habe das nicht nachgerechnet, gehe also davon aus dass die Berechnungen korrekt sind.
Du zeigst dann wann [mm] \vektor{0\\1\\0\\1} [/mm] als erzeugender Vektor in Frage kommt. Folgt aus der JNF der Matrix dass es keinen anderen erzeugenden Vektor geben kann? Wenn ja wie?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:31 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
nein, das folgt nicht, da die jordanbasis nicht eindeutig ist.
aber eigentlich muss ich mir ja auch garnicht die jordannormalform anschauen.
es ist ja gefragt, ob die gegebene matrix zyklisch ist. (da sie zu jordannormalform hat, ist erstmal egal [evtl. würde man ja daraud auch eine lösung für die aufgabe ablesen können...])
aber: zu zeigen sind die bedingungen für a und b, sodass die matrix zyklisch ist. d.h. ich muss eine Basis (v,Av,A^2v,A^3v) von [mm] \IR^4 [/mm] finden. Diese 4 Vektoren sind eine Basis, wenn sie l.u. sind. Somit habe ich die Aufgabe doch gelöst, oder?
Gruß,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 30.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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