zwei weitere Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | unbestimmte Integral: I = [mm] \integral_{2}^{5}{\bruch{-u^{3}+u}{u^{4}-2u^{2}+1} du}
[/mm]
bestimmte Integral: I = [mm] \integral{\bruch{u+1}{u+\wurzel{u^{2}+1}} du} [/mm] |
Ich bitte um eine kleine Überprüfung/Korrektur 
unbestimmte Integral:
I = [mm] \integral_{2}^{5}{\bruch{-u^{3}+u}{u^{4}-2u^{2}+1} du}
[/mm]
I1 = [mm] \integral{\bruch{-u^{3}+u}{u^{4}-2u^{2}+1} du}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{4} \integral{\bruch{4u^{3}-4u}{u^{4}-2u^{2}+1} du}
[/mm]
Substitution: t = f(u) , du = [mm] \bruch{dt}{f'(u)}
[/mm]
=> I1 = [mm] -\bruch{1}{4} \integral{ \bruch{f'(u)}{t}\bruch{dt}{f'(u)}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4} \integral{\bruch{dt}{t}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] ln|t| + C
Rücksubstitution: t = f(u)
=> I1 = [mm] -\bruch{1}{4} ln|u^{4}-2u^{2}+1| [/mm] + C
=> I = [mm] -\bruch{1}{4} ln|u^{4}-2u^{2}+1| [/mm] + C in den Grenzen a = 2 und 5 = b
= [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] (ln 576 - ln 9) = [mm] -\bruch{1}{4} (\bruch{576}{9}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] ln 64
bestimmte Integral:
I = [mm] \integral{\bruch{u+1}{u+\wurzel{u^{2}+1}} du}
[/mm]
Substitution: u = sinht, du = cosht dt, [mm] wurzel{u^{2}+1} [/mm] = cosht, t = arsh u
=> I = [mm] \integral{\bruch{sinht+1}{sinht + cosht} cosht dt}
[/mm]
I = [mm] \integral{\bruch{\bruch{1}{2}e^{t}-\bruch{1}{2}e^{-t}+1}{e^{t}} (\bruch{1}{2}e^{t}-\bruch{1}{2}e^{-t}) dt}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{\bruch{1}{4}e^{2t}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}e^{-2t}+\bruch{1}{2}e^{t}+\bruch{1}{2}e^{-t}}{e^{t}} dt}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{\bruch{e^{2t}-e^{-2t}}{4}+\bruch{e^{t}+e^{-t}}{2}}{e^{t}} dt}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{1}{4}e^{t}-\bruch{1}{4}e^{-3t}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}e^{-2t} dt}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{1}{4} ( -e^{-3t}+2e^{-2t}+e^{t}+2 ) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3}e^{-3t}-e^{-2t}+e^{t}+2t [/mm] ) + C
Rücksubstitution: t = arshu
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3}e^{-3arshu}-e^{-2arshu}+e^{arshu}+2arshu [/mm] ) + C
so nun weiss ich dass arshu = [mm] ln(u+\wurzel{u^{2}+1})
[/mm]
=> I = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3}\bruch{1}{(u+\wurzel{u^{2}+1})^{3}}-\bruch{1}{(u+\wurzel{u^{2}+1})^{2}}+(u+\wurzel{u^{2}+1})^{2}+2arshu [/mm] ) + C
da bin ich nun aber mal wieder gespannt, hab die nacht durchgepaukt, nachher werden evtl noch uneigentliche Integrale kommen ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") , die stehen als nächstes zum lernen für die klausur an..
danke :)
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Teste dein Ergebnis doch einfach mit dem ![[]](/images/popup.gif) Online-Integrator von Mathematica. Musst nur bedenken, dass die Variable da immer x ist.
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ich trau dem dingen nicht so ganz :) also der haut das teilweise so kompliziert raus... ein beispiel... ich weiss dass für:
[mm] \integral {\bruch{sin^2(x)}{cos(x)}dx} [/mm] die Lösung folgende ist: -sinx [mm] +\bruch{1}{2}ln(\bruch{sin(x)+1}{sin(x)-1)} [/mm] + C
der Online-Integrator spuckt folgendes aus:
-sinx + [mm] 2artanh(tan(\bruch{x}{2}))
[/mm]
das bringt mich irgendwie durcheinander :) mag sein, dass es das selbe ist, jedoch für mich, bei meinem, im Vergleich zu vielen anderen hier, eher geringen Wissensstand auf diesem Gebiet, nicht so sehr hilfreich, ...
ich dank dir trotzdem für den link, bei einigen Integralen werde ich es sicherlich gut verwenden können! gleich mal abspeichern :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | matzew611 |
oh das freut mich zu lesen :), das ² hat sich da ein bisschen hineingemogelt (copy & paste), danke schön..
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
