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| Aufgabe | Sei X top. Raum, Y [mm] \subseteq [/mm] Y dichter Teilraum.
zz:
Y zusammenhängend [mm] \Rightarrow [/mm] X zusammenhängend. |
Hallo! Ich löse gerade ein Aufgabenblatt in Ana II und merke, dass ich an einigen Stellen ein paar Lücken habe. Vielleicht könnt ihr mir ein paar Tipps geben, wo ich weiterrätseln muss. Die Aufgabe sieht auf jeden Fall ziemlich simpel aus.
Meine Idee bisher ist Kontraposition:
Ich nehme an, X sei nicht zusammenhängend, dann lässt es sich als Vereinigung zweier disjunkter, in X offener, nichtlehrer Teilmengen [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] schreiben. Ich schneide [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] mit Y, habe dann zwei disjunkte Teilmengen von Y, die nichtleer sind (da Y dicht in X) und die vereinigt wieder Y ergeben.
Ich sehe nur nicht, warum die beiden Schnitte in Y wieder offen sein sollten, und das brauche ich ja, um zu folgern, dass Y nicht zusammenhängend ist. Ich wüsste nicht mal ob sie in X offen wären, schließlich ist Y nicht zwangsläufig offen in X (oder?).
Hat jemand einen Tipp für mich?
PS: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=490999
http://www.onlinemathe.de/forum/zushgd-Raum-dicht-in-zushgd-top-Raum
Aber da mir da in den letzten vier Stunden niemand geantwortet hat, frage ich jetzte auch noch euch. Ich würde die Aufgabe gerne heute fertig kriegen, und ich glaube ich brauche nur einzelnen kleinen Hinweis, den ein Profi sofort sehen müsste. Ich hoffe das ist in Ordnung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 So 06.05.2012 | | Autor: | hippias |
Die Schnitte sind nach Definition offen bezueglich der induzierten Topologie von $Y$, bezueglich welcher $Y$ ja auch zusammenhaengend ist.
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Hallo!
Danke für die schnelle Antwort.
Bezieht sich die induzierte Topologie nicht nur auf Mengen, die ganz in Y liegen? Dann würde mir einleuchten, dass Offenheit erhalten bleibt. Aber vom Schnitt von [mm] U_{1} [/mm] mit Y weiß ich ja überhaupt nicht, dass er offen in X ist. Oder?
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Okay, ich hab noch mal induzierte Topologie nachgeschlagen. Die zieht ja tatsächlich auch alle Schnitte mit, das hatte ich nicht richtig verstanden.
Vielen Dank für deine Hilfe, damit hab ich jetzt endlich wieder den Durchblick. 
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