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| Aufgabe | | zu zeigen: [mm] S^1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\} [/mm] und [mm] A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-1)^2+y^2=1\} \cup A_2=A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x+1)^2+y^2=1\} [/mm] sind nicht homöomorph |
hi
ich würde es irgendwie so machen wollen:
angenommen, es existiert ein Homöo [mm] f:S^1\to A_1\cup A_2
[/mm]
für [mm] (x,y)\in S^1 [/mm] ist dann auch [mm] f_{K}:K=S^1\backslash\{(x,y)\}\to (A_1\cup A_2)\backslash\{f(x,y)\} [/mm] ein Homöo. K ist zusammenhängend, aber ich bin mir nicht sicher, ob [mm] (A_1\cup A_2)\backslash\{f(x,y)\} [/mm] zusammenhängend ist? Kommt das auf die Wahl von (x,y) an?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> zu zeigen: [mm]S^1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}[/mm] und
> [mm]A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-1)^2+y^2=1\} \cup A_2=A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x+1)^2+y^2=1\}[/mm]
Ich nehme an, dass [mm] A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-1)^2+y^2=1\} [/mm] und [mm] A_2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x+1)^2+y^2=1\} [/mm] ist.
> sind nicht homöomorph
> hi
> ich würde es irgendwie so machen wollen:
> angenommen, es existiert ein Homöo [mm]f:S^1\to A_1\cup A_2[/mm]
>
> für [mm](x,y)\in S^1[/mm] ist dann auch
> [mm]f_{K}:K=S^1\backslash\{(x,y)\}\to (A_1\cup A_2)\backslash\{f(x,y)\}[/mm]
> ein Homöo.
Du meinst sicher [mm] f_K(x,y)=f(x,y) [/mm] für (x,y) [mm] \in [/mm] K.
K ist zusammenhängend, aber ich bin mir nicht
> sicher, ob [mm](A_1\cup A_2)\backslash\{f(x,y)\}[/mm]
> zusammenhängend ist? Kommt das auf die Wahl von (x,y) an?
Ja, wähle (x,y) so, dass f(x,y)=(0,0) ist.
FRED
> Lg
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