zerfallsprozesse < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Sa 02.12.2006 | | Autor: | a-l18 |
| Aufgabe | bei einem radioaktiven zerfall gilt für die masse m der zerfallenden substanz m(t)=e^(kt+b) (m(t) in g, t in tagen nach beobachtungsbeginn).
c)weisen sie nach, dass von der zu einem beliebigen zeitpunkt vorhandenen masse dieser radioaktiven substanz nach 14 tagen (3/4) zerfallen ist. |
hallo,
wie kann ich das nachweisen?
ich habe für t 14 tage eingesetzt, das ergebnis ist5, also ein viertel der masse, die zu begionn da war.
das ist aber leider noch kein beweis , dass das für jeden beliebigen zeitpunkt gilt oder?
kann ich da irgendwas machen, z.b. m(x+14)=???
ich weiß nicht weiter.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Sa 02.12.2006 | | Autor: | chrong7 |
im prinzip genuegt es, einfach t=14 einzusetzen, weil bei einem zerfallsprozess (bei jeder form von exponentiellem wachstum) in gleich langen zeitraeumen immer das gleiche passiert; wenn nach den ersten 14 tagen noch 75% da sind, dann sind auch am 34. tag noch 75% von dem da, was am 20. tag da war usw.
das ist aber vermutlich nicht die antwort, die lehrer gerne lesen. man kann diese unabhaengigkeit vom startzeitpunkt wie folgt nachweisen:
der startpunkt der 14-tages-periode ist beliebig; wir bezeichnen ihn daher mit der variable t0.
zum zeitpunkt t0 sind von der urspruenglichen masse noch
m(t0) gramm vorhanden.
14 tage spaeter sind es entsprechend m(t0+14).
um den prozentsatz zu bestimmen (wie viel prozent der urspruenglichen masse sind nach 14 tagen noch da) muessen wir den quotienten m(t0+14)/m(t0) bestimmen.
verwenden der formel fuer m(t) und rechenregeln fuer die exponentialfunktion fuehrt auf:
[mm] \bruch{m(t0+14)}{m(t0)} [/mm] =
[mm] \bruch{e^{k(t0+14)+b}}{e^{k*t0+b}}=
[/mm]
[mm] \bruch{e^{k*t0}e^{k*14}e^{b}}{e^{k*t0}e^{b}} [/mm] =
[mm] e^{14k}
[/mm]
jetzt haengt's natuerlich von der zerfallskonstante k ab, welchen wert man hier bekommt. wenn du den entsprechenden wert einsetzt (hab ich bei der aufgabe nicht gefunden), sollte [mm] e^{14k} \cong [/mm] 0.25 herauskommen.
im prinzip hat man damit die von mir behauptete unabhaengigkeit vom startzeitpunkt mathematisch nachgewiesen (die faktoren, die t0 enthalten, heben sich stets auf; unabhaengig davon, welchen wert t0 hat).
|
|
|
|
